Математиканын мектептик курсунда көптүк түшүнүгү программалык материал катары кирбегени менен көпчүлүк курстук окуп-үйрөнүлүүчү түшүнүктөр: функциянын, туюнтманын, теңдеменин аныкталуу областы; теңдеменин, барабарсыздыктын чыгарылыш көптүктөрү; функциянын өсүү же кемүү аралыктары ж.у.с. баары бир көптүк түшүнүгүн пайдаланууга алып келет. Ошондой эле кээ бир математиканы тереңдетип окуган мектептерде программалык материал болуп да кирип жүрөт. Ушундай жагдайларды эске алуу менен биз Сиздерге көптүк түшүнүгүнө байланыштуу материалдардын мектеп окуучуларына ылайыкташтырылган баяндамасын (теориясы менен бирге эле бир нече көнүгүүлөрдү) сунуш кылабыз.

КӨПТҮКТӨР ЖӨНҮНДӨГҮ НЕГИЗГИ ТҮШҮНҮКТӨР

1. Көптүк жөнүндөгү алгачкы түшүнүктөр.

Математикада көптүк түшүнүгү аныктамасыз кабыл алынган негизги түшүнүктөрдүн бири болуп эсептелет жана ал предметтердин же объекттердин биригүүсүн (тобун, жыйынын) элестетип көрсөтөт. Мисалы көптүк тууралу мектептеги окуучулардын жыйыны, короодогу малдардын тобу, берилген түз сызыктагы чекиттердин биригүүсү ж.б. жөнүндө сөз кылсак болот.

Кандайдыр бир көптүктү түзгөн предметтер (объекттер) ал көптүктүн элементтери деп аталат. Мисалы биз жогоруда атаган мектептеги окуучулардын, короодогу малдардын, түз сызыктагы чекиттердин ар бири тиешелүү көптүктөрдүн элементтери болуп эсептелет, б.а. көптүктүн элементтери реалдуу предметтер (окуучу, эчки, д.у.с.) жана ошондой эле абстрактуу предметтер (чекиттер, сандар ж.б.) боло алышат.

Көптүктөрдү негизинен латындын чоң тамгалары, ал эми көптүктүн элементтерин кичине тамгалары менен белгилешет. Эгерде биз х предмети А көптүгүнүн элементи десек, аны мындайча жазабыз: жана «х элементи А көптүгүнө тиешелүү» же «х элементи А көптүгүнө таандык» же «х элементи А көптүгүнө кирет» деп окуйбуз. Ал эми же деген жазылыш – х элементи А көптүгүнө таандык (тиешелүү) эмес дегенди билдирет.

Көптүктүн элементтери кээде саналып берилет, б.а. деген жазуу – X көптүгү a, b, c, d элементтеринен гана тургандыгын түшүндүрөт.

Ар кандай эле көптүктүн элементтери саналып бериле бербейт. Анткени кээ бир көптүктөр чексиз көп элементтерден турушу ыктымал, анда анын элементтеринин баарын санап берүү ыңгайсыз жана мүмкүн эмес. Мындай учурда көптүк элементтеринин мүнөздүү касиетин көрсөтүү жолу менен берилет, б.а. андай касиетке берилген көптүктүн бардык элементтери жана ошолор гана ээ болот. Ал касиеттер сөз менен маселен мындайча түшүндүрүлөт: тегиздиктин берилген эки чекитинен бирдей алыстыкта жаткан чекиттердин көптүгү; барабарсыздыгынын чыгарылыш көптүгү; бүтүн сандын квадраты боло ала турган сандардын көптүгү жана д.у.с.

Элементтери берилген мүнөздүү касиетке ээ болгон көптүктү мындайча белгилешет: фигуралык кашаа ачып анын ичине көптүктүн элементинин белгиленишин, андан кийин вертикалдык сызыкча анан мүнөздүү касиетти жазып кашааны жаап коёт. Мисалы

көрүнүшүндөгү жазуу – А көптүгү 2ден чоң болгон бардык m бүтүн сандарынан тургандыгын билдирет. Ошондой эле

жазылышы – В көптүгү теңдемесинин тамырларынан түзүлгөндүгүн көрсөтөт.

Бирок мүнөздүү касиеттин жардамы менен берилген көптүктөрдүн баары эле чексиз көп элементке ээ болот деп айтуу ар дайым эле туура боло бербейт. Атап айтканда, биз жогоруда карап өткөн мисалдарда: А көптүгү чексиз, ал эми В – (–3) жана 5 деген эки гана элементтен турган чектүү көптүк, б.а.

себеби теңдемеси эки гана тамырга ээ.

Бир дагы элементи эч кандай касиетке ээ болбогон көптүктөр да кездешиши мүмкүн. Мисалы теңдемесинин чыгарылыш көптүгү эч кандай элемент кармабайт. Квадраты экиге барабар болгон рационалдык сандардын көптүгүнүн бир дагы элементи жок д.у.с. Бул учурда мындай көптүктөрдү куру көптүк деп айтышат, б.а. бир дагы элементке ээ болбогон көптүк куру (бош) көптүк деп аталат жана белгиси менен белгиленет.

А жана В көптүктөрү бирдей жана ошол гана элементтерден турса, б.а. А көптүгүнүн ар бир элементи ошол эле учурда В көптүгүнүн элементи болсо, ал эми В көптүгүнүн ар бир элементи ошол эле учурда А көптүгүнүн элементи боло алса, анда алар барабар көптүктөр деп аталат жана көрүнүшүндө жазылат.

Эгерде көптүк өзүнүн элементтеринин чектүү саны менен берилсе, анда элементтеринин жазылыш тартиби эч кандай роль ойнобогондугу көптүктөрдүн барабардык аныктамасынан эле келип чыгат. Мисалы

2. Камтылган көптүктөр.

Эгерде А көптүгүнүн ар бир элементи В көптүгүнө таандык болсо, анда А көптүгү В көптүгүнүн камтылган көптүгү деп аталат жана же көрүнүшүндө жазылат («А көптүгү В көптүгүнүн камтылган көптүгү» же «А ны В өзүнө камтыйт» деп окуйбуз). – белгиси камтуу белгиси болуп эсептелет. Ал эми А көптүгү В көптүгүнүн камтылган көптүгү боло албаса, анда (же ) деп жазышат.

Мисалдар. 1. Мейли А – бардык жөнөкөй сандардын көптүгү жана Z – бардык бүтүн сандардын көптүгү десек. Анда .

2. Эгерде Х – бардык тик бурчтуу үч бурчтуктардын көптүгү, Y – бардык үч бурчтуктардын көптүгү болсун. Анда Х көптүгү Y көптүгүнүн камтылган көптүгү болот, б.а. .

А жана В көптүктөрүнүн барабардык аныктамасы менен камтылган көптүктөрдүн аныктамасын салыштырып кароо менен мындай жыйынтыка келебиз:

эгерде болсо, анда жана ;

эгерде жана болсо, анда .

Куру көптүк ар кандай куру эмес А көптүгүнүн камтылган көптүгү боло алат (б.а. ), ошондой эле ар кандай А көптүгү өзүнүн камтылган көптүгү болот, б.а. . Мисалы эки элементтүү көптүгүн алалы да анын мүмкүн болгон бардык камтылган көптүктөрүн түзөлү:

Мында биз төрт камтылган көптүктү алабыз. Эгерде га дагы бир элемент кийирсек, анда камтылган көптүктөрдүн саны дагы эки эселенет.

Демек n элементтен турган чектүү көптүк өзүндө камтылган көптүктөрдү кармап тураарын байкоого болот. Ал эми чексиз көп элементтерден турган көптүк өзүндө чексиз көп камтылган көптүктөрдү кармап тураары шексиз.

Эскертүү: камтылган көптүк менен көптүктүн элементинин жазылышын даана айырмалай билишибиз керек. Маселен эгерде болсо, анда же дегенибиз туура, ал эми же дегенибиз туура эмес болот.

3. Көптүктөрдүн биригүүсү, кесилиши жана толуктоочусу.

А көптүгүнө же В көптүгүнө таандык болгон элементтердин бардыгынан турган С көптүгү А жана В көптүктөрүнүн биригүүсү (же бирикмеси) деп аталат жана деп белгиленет, б.а.

Көптүктөрдүн биригүүсүнүн сүрөттөлүшү төмөнкүдөй көрүнүштө болот:

а) б) с)

1-сүрөт.

Эскертүү: эгерде А жана В көптүктөрү жалпы элементтерди кармаса, анда ал элементтер бул көптүктөрдүн биригүүсүнө бир гана жолу кирет.

Эгерде көптүктөрдүн саны экиден көп болсо, анда дале ал көптүктөрдүн биригүүсү жогорудагыдай эле аныкталат.

Мисалдар. 1. Эгерде жана болсо, анда

2. Айталы , жана болсун дейли, анда болот.

3. Мейли С – бардык ромбдордун көптүгү, D – бардык тик бурчтуктардын көптүгү, ал эми F – бардык параллелограммдардын көптүгү болсо, анда – биригүүсү дагы бардык параллелограммдардын көптүгүн берет.

га жана га таандык болгон бардык элементтерден турган М көптүгү А жана В көптүктөрүнүн кесилиши деп аталат жана деп белгиленет, б.а.

Көптүктөрдүн кесилишинин сүрөттөлүшү төмөнкүдөй көрүнүштө болот:

а) б) с)

2-сүрөт.

Ошондой эле экиден көп сандагы көптүктөрдүн кесилишин да кыйналбай эле тапса болот.

Мисалдар. 1. Мейли жана болсун дейли. Анда .

2. Айталы , жана болсун дейли, анда болот.

3. Эгерде Х – 2ге бөлүнүүчү бардык бүтүн сандардын көптүгү, кө бөлүнүүчү бардык натуралдык сандардын көптүгү болсун десек, анда көптүгү 2ге жана 3кө бөлүнгөн, б.а. 6га бөлүнгөн бардык натуралдык сандардан турган көптүк болуп эсептелет.

Кээ бир учурларда 1,2-сүрөттөрдү Эйлер-Венндин диаграммасы деп да аташат.

Көптүктөрдүн биригүүсү жана кесилиши мындай касиеттерге ээ:

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. Эгерде болсо, анда жана .

5. ; .

6. ; .

Дагы бир айта турган сөз, кээ бир кызыктуу маселелер менен иштөөдө чектүү көптүктөрдүн элементтери жөнүндө буларды билип койгонубуз жакшы болот. Маселен А чектүү көптүк болсун, анда анын элементтеринин санын деп белгилешет. Ал эми куру көптүктүн элементтеринин саны нөлгө барабар экендиги шексиз.

Ар кандай А жана В чектүү көптүктөрү үчүн төмөнкү барабардык туура

. (*)

Далилдөө. Айталы А жана В көптүктөрү кесилишпесин дейли, б.а. . Анда алардын бирикмесинин элементтери бул көптүктөрдүн биринин элементтерине экинчисинин элементтерин кошумчалоо менен алынат. Бул учурда

Эгерде А жана В көптүктөрүнүн кесилиши куру эмес көптүк болсо, анда алардын жалпы элементтеринин саны га барабар. Бул учурда ал көптүктөрдүн бирикмесинин элементтери А көптүгүнүн элементтерине В көптүгүнүн га кирбеген гана элементтерин (б.а. андай элементтердин саны га барабар) кошумчалоо менен түзүлөт. Ошентип

Мисалы класстагы 40 окуучунун 26сы спорт ийримине, 17си кол өнөрчүлүк ийримине жана 8 окуучу аталган ийримдердин экөөнө тең катышат. Класстагы канча окуучу бул ийримдердин жок дегенде бирине катышат?

Чыгаруу. Спорт ийримине катышкан окуучулардын көптүгүн А, ал эми кол өнөрчүлүк ийримине катышкан окуучулардын көптүгүн В десек, анда ; болот. Ошондой эле эки ийримге тең катышкан окуучулардын саны – болот. (*) барабардыгынын негизинде класстагы жок дегенде бир ийримге катышкан окуучулардын санын төмөндөгүчө эсептейбиз:

Демек класстагы 35 окуучу аталган ийримдердин жок дегенде бирине катышат.

Кээде негизги же универсалдуу деп аталуучу көптүктүн мүмкүн болгон бир нече камтылган көптүктөрүн кароо менен иш алып барууга туура келет. Ошол негизги көптүктү Е менен белгилейли. Негизги Е көптүгүнө камтылган каалаган А көптүгү үчүн төмөнкүлөр туура

, .

3-сүрөт.

А көптүгүнө кирбеген негизги Е көптүгүнүн элементтеринен гана турган көптүк

А көптүгүн Е көптүгүнө чейин толуктоочу көптүк (же толуктооч) деп айтышат

жана көрүнүшүндө белгиленет. А көптүгү менен анын толуктоочусу

нын бирикмеси негизги көптүктү берет, б.а. .

Ал эми алардын кесилиши куру көптүктү берет: .

Ошондой эле куру көптүктүн толуктоочусу болуп негизги көптүк эсептелет жана тескерисинче, б.а. же . 3-сүрөттө Е көптүгү тик бурчтук көрүнүшүндө, анын камтылган көптүгү А штрихтелип, ал эми А көптүгүнүн толуктоочусу штрихтелбей көрсөтүлгөн.

Негизги Е көптүгүнүн ар кандай А жана В камтылган көптүктөрү үчүн төмөндөгүлөр туура

, (1)

. (2)

4-сүрөттөн (1) барабардыгынын туура экендиги түшүндүрүлөт, б.а. 4-а сүрөттө А менен нын бирикмеси штрихтелип, анын толуктоочусу штрихтелген эмес. 4-б сүрөттө болсо көптүгү туурасынан штрихтелген жана көптүгү тигинен штрихтелген, ал эми алардын кесилиши эки түрдүү штрихтер менен жабылып турат.

4-сүрөт.

Бул учурда а менен б сүрөт-төрүн салыштырып кароо менен (1) барабардыгынын туура экендигин байкайбыз (силерге (2) барабардыгын негиздөөнү сунуш кылабыз).

Айтылгандарга карата сан көптүктөрү үчүн мындай мисалдарды келтирсек болот (бирок сан көптүктөрү жөнүндө атайын кеңири кийинки пункттарда токтолобуз). Эгер бүтүн сандардын көптүгүн негизги көптүк десек жана анын камтылган көптүгү оң эмес бүтүн сандардын көптүгү болсо, анда натуралдык сандардын көптүгү толуктооч көптүк болмок. Ошондой эле анык сандардын көптүгү негизги көптүк болсо, анда рационалдык сандардын көптүгү үчүн иррационалдык сандардын көптүгү толуктооч көптүк болмок жана тескерисинче да туура болот.

Дагы бир мисал. Мектепте 430 окуучу бар. 263 окуучу ырдаганга ышкыбоз, 305 окуучу бийлегенге ышкыбоз. Ал эми 56 окуучу ырга да бийге да таптакыр кызыкпайт. Мектептеги канча окуучу ырга жана ошол эле учурда бийге да ышкыбоз?

Чыгаруу. Мектептеги жалпы окуучулардын көптүгүн негизги Е, ырдаганга ышкыбоз окуучулардын көптүгүн А жана бийлегенге ышкыбоз окуучулардын көптүгүн В дейли. Анда ырга да жана бийге да кызыкпаган окуучулардын көптүгү болуп эсептелет. Шартты эске алсак , бирок (1) формула боюнча болгондуктан экендиги келип чыгат. Бул учурда , , болоорун билүү менен (*)нын негизинде төмөнкүгө ээ болобуз:

Демек мектептеги 194 окуучу ырга жана ошол эле учурда бийге да ышкыбоз.

К ө н ү г ү ү л ө р

1. «Көптүк» деген сөздүн ордуна: команда, жыйын, бригада, коллекция деген сөздөр колдонулган мисалдарды келтиргиле.

2. Фигуралуу кашаанын жардамы менен «математика» деген сөздөгү түрдүү тамгалардын көптүгүн жазгыла.

3. 6 жана 17 сандарынын арасында жаткан натуралдык сандардын көптүгүн жазгыла. 0, 3, 7, 12, 16, 17, 21 сандарынын кайсылары бул көптүккө таандык (же таандык эмес) экендигин же белгилеринин жардамы менен жазгыла.

4. Шоолада 10 жана 15 сандарынын арасында жайланышкан натурал-дык сандардын көптүгүн фигуралуу кашаанын жардамы менен жазгыла. Бул көптүктө канча элемент бар жана алар кайсылар? 0, 10, 11, 12, 15, 18, 32 сандарынын кайсылары бул көптүккө таандык болот?

5. Төмөнкү көптүктөрдү фигуралуу кашаанын же белгисинин жардамы менен жазгыла:

а) 3 цифрасы менен бүткөн эки орундуу натуралдык сандардын көптүгүн;

б) шоолада 2 санынын сол жагында жайгашкан натуралдык сандардын көптүгүн;

в) шоолада 9 санынын сол жагынан орун алган эки орундуу натуралдык сандардын көптүгүн.

6. Эгер болсо, анда төмөнкүдөй айтылгандардын кайсынысы чын жана кайсынысы калп: ?

7. көптүктөрүнүн кайсынысы барабарсыздыгынын натуралдык чыгарылыштарынын көптүгү болуп эсептелет?

8. Натуралдык чыгарылыштарынын көптүгү төмөнкүдөй болгон барабарсыздыктарды жазгыла:

а) ; б) .

9. Барабарсыздыктардын натуралдык чыгарылыштарынын көптүгүн тапкыла:

а) ; б) ; в) ; г) .

10. Бардык элементтерин санап берүү менен көптүктү жазгыла:

а) ;

б) {p | p < 13, p – жөнөкөй сан};

в) {y | y – 12нин бөлүүчүлөрү, yÎN};

г) {z | – натуралдык сан, zÎN};

д) {а | – дурус бөлчөк, аÎN};

е) {b | – буруш бөлчөк, bÎN}.

11. көптүгү берилсин. Бул көптүктүн бардык камтылган көптүктөрүн жазгыла. Канча камтылган көптүк алынат?

12. В көптүгүнүн мүмкүн болгон бардык камтылган көптүктөрүн түзгүлө, эгерде болсо.

13. көптүгүнө камтылган жөнөкөй сандардын жана курама сандардын көптүктөрүн бөлүп алгыла.

14. көптүгүнөн: а) 2ге; б) 3кө; в) 5ке эселүү сандардын көптүктөрүн, камтылган көптүк катары бөлүп алгыла.

15. Х – дүн бөлүүчүлөрүнүн көптүгү, Y – нүн бөлүүчүлөрүнүн көптүгү жана Z – тин бөлүүчүлөрүнүн көптүгү. Бул көптүктөрдүн кайсынысы камтылган көптүк боло алат? Жоопторун белгисин пайдаланып жазгыла.

16. Асан, Акмат жана Бектур – Эсендин достору. Кээде Эсен мектепке келе жатып көчөдөн ал досторунун бири менен же бир канчасы менен жолугуп калат. Эсендин досторунун көптүгүнүн көчөдө жолуккандарынын камтылган көптүктөрүнүн бардыгын жазгыла.

17. 2, 3, 6, 9 сандарына тиешелүү түрдө туура келген А, В, С жана D чекиттерин шооладан белгилегиле. кесиндиси кесиндисинин камтылган көптүгү боло алабы? кесиндиси кесиндисинин камтылган көптүгү боло алабы?

18. 75 санынын натуралдык бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн жана 125 санынын натуралдык бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн фигуралык кашааны пайдаланып жазгыла. Ал көптүктөрдүн бирикмесин тапкыла.

19. , жана көптүктөрү берилди. Төмөнкү көптүктөрдүн ар бирин фигуралык кашаанын жардамы менен жазгыла:

20. көптүгүнөн ке эселүү сандардан турган А камтылган көптүгүн жана кө эселүү сандардан турган В камтылган көптүгүн бөлүп алгыла. Ал көптүктөрдүн бирикмесин тапкыла.

21. D – 15 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгү, Р – 18 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгү, М – 9 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгү. Төмөнкү көптүктөрдү жазгыла:

а) ; б) ; в) ; г) .

22. А, В жана көптүктөрүн тапкыла, эгерде:

а) А – «көптүк» деген сөздөгү тамгалардын көптүгү, В – «түпкүрдө» деген сөздөгү тамгалардын көптүгү;

б) А – 36 санынын натуралдык бөлүүчүлөрүнүн көптүгү, В – 30 санынын натуралдык бөлүүчүлөрүнүн көптүгү;

в) А – теңдемесинин чыгарылыш көптүгү, В – теңдемесинин чыгарылыш көптүгү;

г) А – барабарсыздыгынын бүтүн чыгарылыштарынын көптүгү, В – барабарсыздыгынын натуралдык чыгарылыштарынын көптүгү болсо.

23. барабарсыздыгынын бүтүн чыгарылыш көптүгү – Х, барабарсыздыгынын бүтүн чыгарылыш көптүгү – Y болсун. Чыгарылыш көптүгү болгон көптүктү кош барабарсыздык менен көрсөткүлө.

24. Чокуларынын координаталары болгон KED үч бурчтугун жана ABCD төрт бурчтугун түзгүлө. Мейли М – KED үч бурчтугунун чекиттеринин көптүгү, ал эми P – ABCD төрт бурчтугунун чекиттеринин көптүгү болсун. М жана P көптүктөрүнүн бирикмеси кандай фигураны берет?

25. , , экендиги белгилүү. Фигуралык кашаанын жардамы менен төмөнкү көптүктөрдү жазгыла:

26. 12 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн жана 18 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн жазгыла. Бул көптүктөрдүн кесилишин тапкыла. 12 жана 18 сандарынын жалпы бөлүүчүлөрүнүн эң чоңу кайсы?

27. А көптүгү 4кө эселүү болгон алгачкы он натуралдык сандардан, ал эми В көптүгү 6га эселүү алгачкы он натуралдык сандардан турат. А жана В көптүктөрүнүн кесилишин тапкыла. Бул учурда 4 жана 6 сандарына жалпы эселүү сандардын эң кичинеси кайсы?

28. х санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн жана y санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн жазгыла. Ал көптүктөрдүн кесилишин тапкыла, эгерде:

а) ; б) .

29. А, В жана көптүктөрүн фигуралык кашаанын жардамы менен жазгыла, эгерде:

а) А – 20дан кичине жуп натуралдык сандардын көптүгү, В – 3кө эселүү жана 20дан кичине натуралдык сандардын көптүгү;

б) А – 1 жана 2 цифралары менен жазылган үч орундуу натуралдык сандардын көптүгү, В – ге эселүү үч орундуу натуралдык сандардын көптүгү;

в) А – бир гана цифра менен жазылган эки орундуу натуралдык сан-дардын көптүгү, В – 11ге эселүү эки орундуу натуралдык сандардын көптүгү;

г) А – 24 санынын натуралдык бөлүүчүлөрүнүн көптүгү, В – 25 санынын натуралдык бөлүүчүлөрүнүн көптүгү болсо.

30. А – барабарсыздыгынын, В – барабарсыздыгынын бүтүн чыгарылыш көптүктөрү болушсун. Чыгарылышы А жана В көптүктөрүнүн кесилиши болгон көптүктү кош барабарсыздык менен жазгыла. Ошол үч барабарсыздыктын чыгарылышы болгон көптүктөрдү шооладан көрсөткүлө.

31. Шооладан барабарсыздыгынын бардык бүтүн чыгарылыштарын жана барабарсыздыгынын бардык бүтүн чыгарылыштарын белгилегиле. Фигуралык кашаанын жардамы менен ал көптүктөрдү көрсөткүлө жана алардын кесилишин кош барабарсыздык менен жазгыла.

32. Шооладан жана барабарсыздыктарынын ар биринин бардык бүтүн чыгарылыштарынын көптүктөрүн белгилегиле жана алардын кесилиштерин тапкыла. Шооладан белгиленген сандардын кайсылары берилген барабарсыздыктардын экөөнүн тең чыгарылышы жана бирөөнүн гана чыгарылышы боло тургандыгын көрсөткүлө?

33. Кесилиштери: а) кесинди; б) шоола болгондой кылып, бурч жана түз сызык чийгиле.

34. Эки үч бурчтуктун кесилиши – кесинди, ал эми биригүүсү квадрат болот. Булардын чиймесин чийгиле.

35. жана терин атап айткыла, эгерде:

а) Х – тең жактуу үч бурчтуктардын көптүгү, Y – тең капталдуу үч бурчтуктардын көптүгү;

б) Х – ромбдордун көптүгү, Y – тик бурчтуктардын көптүгү;

в) Х – туура көп бурчтуктардын көптүгү, Y – трапециялардын көптүгү;

г) Х – көп бурчтуктардын көптүгү, Y – туура көп бурчтуктардын көптүгү болсо.

36. Берилген эки бурчту алардын кесилиши: а) үч бурчтук; б) шоола; в) чекит; г) кесинди; д) төрт бурчтук боло тургандай кылып жайгаштыргыла.

37. А, В, С көптүктөрүнүн элементтерин жазгыла жана , , , тапкыла, эгерде:

а) А – 12 санынын натуралдык бөлүүчүлөрүнүн көптүгү, В – теңдемесинин тамырларынын көптүгү, С – барабарсыздыгын канааттандыруучу так натуралдык сандардын көптүгү;

б) А – барабарсыздыгын канааттандыруучу натуралдык сандардын көптүгү, В – 21 санынын натуралдык бөлүүчүлөрүнүн көптүгү, С – ден кичине жөнөкөй натуралдык сандардын көптүгү болсо.

38. Группадагы 100 туристтин 70и англис тилин, 45и немис тилин, ал эми 23ү ал тилдердин экөөнү тең билет. Группадагы канча турист англис тилин да жана немис тилин да билбейт?

39. Эс алып жаткан 52 окуучунун 41и сүзгөндү, 35и шахмат ойногонду билет. Бирок алардын алтоо гана сүзгөндү да шахмат ойногонду да билбейт. Канча окуучу сүзө да, шахмат да ойной алат?

40. Мектепте 1400 окуучу бар. Алардын 1250сү лыжа, 952си коньки тепкенди билет. Ал эми 60 окуучу лыжа тепкенди да жана коньки тепкенди да билбейт. Канча окуучу лыжа да жана коньки да тепкенди билет?

41. Дүкөнгө барган сатып алуучу көбүнчө бир куту чай же бир нан же бир куту чай менен бир нан сатып алат дейли. Кайсы бир күнү ал дүкөндөн 57 куту чай жана 36 нан сатылган. Эгерде ошол күнү 12 киши бир куту чай менен бир нан сатып алган болсо, анда ал күнү дүкөнгө канча сатып алуучу барган болот?

42. Бир жуманын ичинде кинотеатрда А, В жана С фильмдери көрсөтүлдү. 36 окуучунун кээ бири же ал фильмдердин үчөөнү тең же үчөөнүн бирин гана көргөн, б.а. А фильмин 13 окуучу көргөн, ны – 16, ны – 19. Үч фильмдин бирин да калтырбай көргөн окуучулардын санын тапкыла.

43. Райондук олимпиадага 40 окуучу катышып аларга алгебра, геометрия жана физиканын ар биринен бирден маселе чыгаруу сунуш кылынган. Текшерүүнүн жыйынтыгы мындай болду: алгебралык маселени 20 окуучу, геометриядан – 18, физикадан – 18, алгебра жана геометриядан – 7, алгебра жана физикадан – 8, геометрия жана физикадан – 9 окуучу чыгарган. Ошондой эле үч окуучу бир дагы маселени чыгарган эмес. Канча окуучу бардык үч маселени тең чыгарган? Канча окуучу экиден маселе чыгарган?

Даярдаган Б.Келдибаев