5. АНЫК САНДАРДЫН КӨПТҮГҮ

5.1. Иррационалдык сандар.

Рационалдык сандардын даражасы деген түшүнүккө байланыштуу мындай маселе коюлат: берилген n натуралдык саны жана берилген оң a рационалдык саны үчүн

(14)

теңдемеси рационалдык чыгарылышка ээ болобу?

Бул маселе Q көптүгүндө ар дайым эле чыгарылышка ээ эмес.

12-теорема. теңдемесинин рационалдык чыгарылышы жок, б.а. квадраты 2ге барабар болгон рационалдык саны жашабайт.

Далилдөө. Айталы боло турган кыскарбас бөлчөк көрүнүшүндөгү рационалдык саны жашасын. Рационалдык сандардын даражаларынын касиетин пайдаланып же деп жазсак болот. Бул барабардыктын оң жагы 2ге эселүү, анда сол жагы дагы 2ге бөлүнүшү керек. Бирок саны 2ге бөлүнөт, качан гана p саны 2ге бөлүнсө. Мындан p саны 2ге эселүү болсо, боло турган k бүтүн саны жашайт. p нын бул маанисин барабардыгына койсок: , анда q санынын да 2ге бөлүнөөрү келип чыгат. Ал дегенибиз бөлчөгү алымы жана бөлүмү 2ге бөлүнгөндүктөн кыскарат. Мындан биз башында койгон шартка карама-каршы келебиз. Демек теореманын тууралыгы далилденди.

Ошентип Q көптүгүндө 2 санынан квадраттык тамыр чыкпайт, б.а. же символдору Q көптүгүндө мааниге ээ эмес. Ушуга эле окшош: «узундук бирдиги менен кесиндинин узундугун ченөө» маселеси Q көптүгүндө ар дайым эле чыгарылышка ээ эмес жана «аянты болгон квадраттын жагын табуу» маселеси Q көптүгүндө чыгарылышка ээ болбойт. Ушундай кыйынчылыктардан арылуу үчүн сандар түшүнүгүн дагы кеңейтүүгө туура келет, б.а. иррационалдык сандар деген жаңы сандарды киргизебиз.

Иррационалдык сандардын кайдан келип чыгаарын эми 3 санынан квадраттык тамыр чыгаруу мисалы менен көрсөтөлү. Ишти жеңилдетүү максатында тамырдын оң маанилери менен эле чектелели. Бизге экендиги түшүнүктүү. Эми 1,0; 1,1; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0 сандарынын ичинен биринин квадраты 3төн чоң, ал эми экинчисинин квадраты 3төн кичине болгон коңшулаш эки санды табалы. Карап көрсөк алар: жана . Бул процессти ушинтип улантып олтурсак, анда бул барабарсыздыктарга ээ болобуз:

……………………………..

Мындан биз квадраттарынын арасында 3 саны жаткан рационалдык сандардын, эң алгач бүтүн бөлүктөрүн андан кийин үтүрдөн кийинки биринчи, экинчи, үчүнчү ж.б. цифраларын салыштыруу менен төмөнкүдөй ондук белгилердин удаалаштыгына ээ болобуз:

1,73205…

Бири-биринен на (k ушунчалык чоң болгондой) айырмаланган рационалдык сандардын түгөйүн (чектүү ондук бөлчөк менен туюндурулган) издөө процесси чексиз улантылышы мүмкүн. Ошондуктан 1,73205… санын чексиз мезгилсиз ондук бөлчөк деп кароого болот, анткени эгерде мезгилдүү десек, анда ал сан рационалдык сан болмок. Бул үтүрдөн кийинки бардык цифраларын бир эле учурда жазууга мүмкүн болбогон чексиз мезгилсиз ондук бөлчөк кө барабар болгон сан үчүн кабыл алынат.

Бул учурда мындай аныктама киргизилет: иррационалдык сан деп,

көрүнүшүндөгү ар кандай чексиз мезгилсиз ондук бөлчөктү айтабыз. Мында – бүтүн бөлүгү (ал оң, нөлгө барабар же терс болушу мүмкүн), ал эми – анын бөлчөк бөлүгүнүн ондук белгилери (цифралар).

Чексиз мезгилсиз ондук бөлчөк менен берилген иррационалдык сан дин кеми менен жана ашыгы менен алынган ондук жакындаштырылган (же жөн эле жакындаштырылган) маанилери деп аталуучу эки чектүү ондук бөлчөктөрдүн удаалаштыгын аныктайт:

………………………..….……

Мисалы үчүн жазалы:

ж.б. Бул жерде санынын 0,01ге чейинки тактыктагы кеми менен алынган жакындаштырылган мааниси 1,73; ал эми 1,74 – ашыгы менен алынган жакындаштырылган мааниси болот.

Ушундай эле үчүн:

……………………………

Бул жерде –1,733 – тактыгы 0,001ге чейинки санынын кеми менен, ал эми –1,732 – ашыгы менен алынган жакындаштырылган мааниси болот.

Иррационалдык сандар алгебралык жана трансценденттик болуп экиге бөлүнөт.

Алгебралык иррационалдык сан деп, рационалдык коэффиценттүү

(мында )

көрүнүшүндөгү көп мүчөнүн тамыры боло алган иррационалдык санды айтабыз.

Мисалы – алгебралык иррационалдык сан, анткени ал көп мүчөсүнүн тамыры болот.

Ал эми башка чексиз мезгилсиз ондук бөлчөктөр – трансценденттик иррационалдык сандар болушат. Мисалы: ; оң сандын логарифмасынын жана тригонометриялык функциялардын айрым бир маанилери ж.б.

Иррационалдык сандар менен жүргүзүлүүчү арифметикалык амалдар, алардын кеми менен жана ашыгы менен алынган жакындаштырылган маанилери менен жүргүзүлөт. Ал жөнүндө кийинки пунктта токтолобуз.

5.2. Анык сандар.

Рационалдык жана иррационалдык сандардын бардыгы биргелешип анык (же чыныгы) сандардын көптүгүн түзүшөт жана ал көптүк R тамгасы менен белгиленет. Мына ошентип ар кандай чексиз ондук бөлчөк (мезгилдүү же мезгилсиз) ар дайым кандайдыр бир анык санды билдирет. Эгерде биз иррационалдык сандардын көптүгүн I тамгасы менен белгилесек, анда .

Эгерде бардык үчүн болсо, анда эки оң

жана (15)

анык сандары барабар деп аталат.

Эки оң анык сандардын (15) биринчиси экинчисинен чоң, эгерде , же бирок , же (кандайдыр бир үчүн), бирок болсо. «Кичине» катышы деле ушуга окшош

аныкталат, б.а.

Эки анык сан жана () карама-каршы деп аталат, эгерде бардык үчүн болсо. Эки терс анык сандар барабар болушат, эгерде алардын карама-каршы сандары (мындан ары сан деп айтканыбызда анык сан деп түшүнөбүз) барабар болушса. Эки терс сандын биринчиси экинчисинен чоң болот, эгерде биринчисинин карама-каршысы (оң), экинчисинин карама-каршысынан (оң) кичине болсо. Оң сан ар дайым нөлдөн жана ар кандай терс сандан чоң, ал эми нөл дайыма ар кандай терс сандан чоң болот.

Чексиз бөлчөктөрдүн жакындаштырылган маанилерин кароого дагы токтололу. Эгерде берилген оң санды сүрөттөгөн чексиз оң ондук бөлчөктү кандайдыр бир белгисинен үзсөк, анда чектүү ондук бөлчөктү (аны мезгили 0 болгон чексиз бөлчөк түрүндө жазууга мүмкүн) алабыз. Бул бөлчөк берилген сандан кичине (же ага барабар) болот. Мындай бөлчөк берилген оң анык сандын кеми менен алынган жакындаштырылган мааниси деп аталат.

Эгерде оң чексиз ондук бөлчөктү кандайдыр бир n-чи орундан үзүп алынган бөлчөккө санын кошсок, анда берилген сандан чоң болгон чектүү ондук бөлчөктү алабыз. Мындай бөлчөк берилген оң анык сандын ашыгы менен алынган жакындаштырылган мааниси деп аталат.

Эгерде терс чексиз ондук бөлчөктү кандайдыр бир орундан үзсөк, анда берилген сандан чоң (же ага барабар) болгон чектүү ондук бөлчөктү алабыз. Мындай бөлчөк берилген терс анык сандын ашыгы менен алынган жакындаштырылган мааниси деп аталат.

Эгерде терс чексиз ондук бөлчөктү кандайдыр бир n-чи орундан үзүп алынган бөлчөккө санын кошсок, анда берилген анык сандан кичине болгон чектүү ондук бөлчөктү алабыз. Мындай бөлчөк берилген терс анык сандын кеми менен алынган жакындаштырылган мааниси деп аталат.

Мисалдар. 1. Мейли саны берилсин. Анда a санынын жакындаштырылган маанилери:

– кеми менен алынганы,

– ашыгы менен алынганы болушат.

2. санынын кеми менен алынган жакындаштырылган маанилери: . Ал эми ашыгы менен алынган маанилери: болушат.

3. Мейли саны берилсин. Анда b санынын жакындаштырылган маанилери: – кеми менен алынганы, ал эми – ашыгы менен алынганы болушат.

Эми анык сандар менен болгон амалдар кандай жүргүзүлөөрүнө токтололу.

Эки анык сандын суммасы деп, алардын кеми менен алынган ар кандай жакындаштырылган маанилеринин суммасынан чоң (же барабар) бирок алардын ар кандай ашыгы менен алынган маанилеринин суммасынан кичине (же барабар) болгон санды айтабыз жана ал бирөө гана болот.

жана анык сандарынын көбөйтүндүсү деп, алардын ар кандай кеми менен алынган жакындаштырылган маанилеринин көбөйтүндүсүнөн чоң (же барабар), бирок алардын ар кандай ашыгы менен алынган маанилеринин көбөйтүндүсүнөн кичине (же барабар) болгон санды айтабыз жана ал ар дайым бирөө гана болот.

жана терс анык сандардын көбөйтүндүсү аларга карама-каршы болгон жана оң сандардын көбөйтүндүсүнө барабар.

жана түрдүүчө белгидеги эки анык сандын көбөйтүндүсү жана сандарынын көбөйтүндүсүнө карама-каршы болгон терс санга барабар.

Анык сандардын көптүгүндө кемитүү жана бөлүү (нөлдөн башкага) амалдары, кошуу жана көбөйтүү амалдарына тескери амалдар болгондуктан ар дайым аткарылат.

Ошондой эле эгерде a анык саны көбөйтүүчү болуп n жолу ( болгон натуралдык сан) катышса, анда көбөйтүндүсү a санынын n-чи даражасы деп аталат жана көрүнүшүндө жазылат. Аныктама боюнча .

Терс эмес a санын n-чи даражадагы арифметикалык тамыры деп, n-чи даражасы ошол a санын бере турган терс эмес b санын айтабыз жана деп белгилейбиз, б.а.

5.3. Анык сандардын аксиоматикасы.

Математикада анык сандарды кийрүү ыкмалары (буга чейинки биз карагандай) эмес, анык сандардын R көптүгүнүн касиеттери негизги ролду ойнойт. Ошондуктан төмөндө биз ал негизги касиеттерге токтололу. Бул негизги касиеттерден сандардын башка дагы нечен касиеттери келип чыгаарын көрөбүз. Каралуучу негизги касиеттер R көптүгүн аксиоматикалык жол менен аныктайт жана бул көптүктү берүүчү аксиомалар болуп эсептелинет.

R көптүгүндө негизги амалдар кошуу жана көбөйтүү болуп эсептелээрин дагы бир жолу эске алсак: ар кандай a жана b эки анык санына (a менен b нын суммасы) жана (a менен b нын көбөйтүндүсү) тиешелештикке коюлат. Ошондой эле R көптүгүндө «a кичине » же ошонун эле өзү «b чоң » катышы киргизилет. Мындан башка дагы 0 жана 1 сандары өзгөчө ролду ойнойт. Нөлдөн чоң сандар оң сандар деп, ал эми нөлдөн кичине сандар терс сандар деп аталат.

Ар кандай үчүн төмөндөгү касиеттер туура:

II.

III.

IV. Ар кандай aÎR үчүн боло турган саны жашайт. Ал b саны a санына карама-каршы сан деп аталат жана деп белгиленет, б.а. болот.

Бул аксиома R көптүгүндө кемитүү амалынын аткарылышына мүмкүндүк берет, б.а. суммасын айырмасы деп түшүнөбүз.

VI.

VII.

VIII.

IX. Ар кандай нөлдөн айырмалуу үчүн боло турган саны жашайт. Ал b саны a санына тескери сан деп аталат жана деп белгиленет.

Бул аксиома R көптүгүндө бөлүү амалынын аткарылышына мүмкүндүк берет, б.а. ны көбөйтүндүсү деп түшүнөбүз.

X. – калп.

XI. Эгерде болсо, анда же же .

XII. Эгерде жана болсо, анда (транзитивдик).

XIII. Эгерде жана болсо, анда .

XIV. Эгерде болсо, анда .

XV. Эгерде жана болсо, анда боло турган саны жашайт (Архимеддин аксиомасы).

XVI. Эгерде сан көптүгү жогору жагынан чектелген болсо, анда анын жогорку чегинин ичинде эң кичине элементи бар (үзгүлтүксүздүк аксиомасы).

I–IV – кошуунун, V–IX – көбөйтүүнүн, ал эми X–XV – ирээттүүлүк аксиомалары деп аталат.

I–XV аксиомалар Q көптүгүндө да аткарылат. Бирок Q жана R көптүктөрү айырмаланышат, анткени Q көптүгүндө көп «көзөнөктөр» (мисалы (), д.у.с. сандарга тийиштүү «көзөнөктөр») бар, б.а. a рационалдык санынан b рационалдык санына () чейинки аралык рационалдык сандар менен жыш толгон эмес. Ал эми R көптүгүндө мындай «көзөнөктөр» жок, бул көптүк – анык сандар менен жыш толгон же б.а. үзгүлтүксүз (тыгыз). Ошондуктан R көптүгүнүн үзгүлтүксүздүгү атайын аксиома (XVI) катары баяндалат.

XVI-аксиоманын баяндамасы дагы мындай түшүнүктөргө байланыштуу. R көптүгүнүн ар кандай камтылган (куру эмес) көптүгү сан көптүгү болот. Айталы М көптүгү R көптүгүнө камтылган көптүк болсун. Эгерде ар кандай саны үчүн x£p (б.а. , катыштарынын жок дегенде бири орундалса) барабарсыздыгы туура болгондой p саны жашаса, анда М көптүгү жогору жагынан чектелген жана ал p саны М көптүгүнүн жогорку чеги деп аталат. Эгерде ар кандай саны үчүн туура болгондой q саны жашаса, анда М көптүгү төмөн жагынан чектелген жана ал q саны М көптүгүнүн төмөнкү чеги деп аталат. Мисалы бардык терс анык сандардын көптүгү жогору жагынан чектелген жана анын жогорку чеги болуп ар кандай оң сан же нөл боло алат.

Ушулардын негизинде XVI-аксиоманын мазмуну мындайча түшүндүрүлөт. Эгерде R көптүгүнөн кандайдыр бир m санын алып таштасак, анда R көптүгү эки көптүккө: m санынан кичине сандардан турган А көптүгүнө жана m санынан чоң болгон сандардан турган В көптүгүнө бөлүнмөк. А көптүгү жогору жагынан чектелмек, бирок жогору чегинде (ал чекти В көптүгү түзөт) эң кичине элемент жок (бул эң кичине элемент болуп ошол «алынып ташталган» m саны эсептелиниши керек эле). Ошондуктан мындай көзөнөктүү R көптүгүндө XVI-аксиома аткарылбайт, б.а. үзгүлтүксүздүк аксиомасы R көптүгүндө «көзөнөктөрдүн» жоктугун билдирет.

Жогоруда көрсөтүлгөн аксиомалар геометриянын аксиомаларындай эле далилдөөсүз кабыл алынат. Аталган аксиомалардын ролу алгебрада геометриянын аксиомаларынын ролуна окшош, анткени көпчүлүк алгебралык ырастоолор ушул анык сандардын аксиомаларынан келтирилип чыгарылат. Бул айткандарыбыздын айрымдары кийинки пунктта такталат.

5.4. Сан барабарсыздыктарынын касиеттери.

Алдыда каралган кээ бир аксиомалардын жардамы менен анык сандардын төмөндөгүдөй бир катар касиеттерин келтирип чыгарууга болот:

1. барабарсыздыгы, качан гана – оң (терс) сан болгондо гана орун алат.

2. Эгерде жана с – оң сан болсо, анда болот.

3. Эгерде жана с – терс сан болсо, анда болот.

4. Эгерде a, b, c, d – оң сандар болуп жана , болсо, анда болот.

Натыйжа. Эгерде a, b – оң сандар, жана болсо, анда болот.

5. Эгерде жана болсо, анда болот.

6. Эгерде , жана болсо, анда болот.

Бул касиеттердин айрымдарын анык сандардын аксиомаларынын негизинде далилдейли.

Далилдөө–1. Мейли болсун. Анда XIV-аксиома боюнча болот. Бирок жана (IV-аксиома боюнча). Мындан , б.а. – оң сан. Мейли тескерисинче – оң сан болсун дейли, б.а. . Анда XIV-аксиома боюнча болот. II жана IV-аксиомаларды пайдалансак: (a-b)+b=(a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0. III-аксиома боюнча . Бул учурда жана . Мындан .

Далилдөө–5. Мейли жана болсун. 1-касиет боюнча жана . Эки оң сандын суммасы ар дайым оң сан болоору бизге белгилүү (б.а. эгерде , десек, анда болушунан жана XIV-аксиома боюнча , ал эми III-аксиоманын негизинде . Бул учурда . XII-аксиома боюнча , , анда ). Ошондуктан болот. Анда II, IV-аксиомалардын негизинде экендигине ээ болобуз. Мындан (a+c)-(b+d)>0, анда 1-касиеттин негизинде болот.

Калган касиеттердин далилдөөсүн окурмандарга сунуш кылабыз.

Эскертүү: жогоруда каралган касиеттер барабарсыздыктын « > » белгиси үчүн эле эмес « < », « ³ », « £ » белгилери үчүн да орун алат.

5.5. Сан огу.

Мейли кандайдыр бир түз сызык берилсин (5-сүрөт). Андан каалаган бир чекитти О менен белгилеп, аны эсептөөнүн башталышы деп алышат. О чекити түз сызыкты эки шоолага бөлөт. Бул шоолалардын оңго карай багытталганы оң шоола, ал эми солго карай багытталганы терс шоола деп аталат.

5-сүрөт

Айталы узундук бирдиги үчүн кабыл алынган кандайдыр бир кесинди берилсин. Мындай учурда масштаб киргизилди деп айтышат.

Эсептөөнүн башталышы, оң багыты жана масштабы көрсөтүлгөн түз сызыкты сан огу деп айтабыз. Сан огун кээде координата түз сызыгы же сан түз сызыгы деп да айтышат.

Сан огунун ар бир чекитине бир гана анык сан тиешелештикке коюлат. Айталы бүтүн сандардын сан огунда сүрөттөлүшүн карап көрөлү, эгерде ал оң бүтүн сан болсо, анда масштаб кесиндисин О чекитинен оңго карай берилген сан жолу ченелип коюлат, ал эми терс бүтүн сан болсо, анда масштаб кесиндиси О чекитинен солго карай берилген сан жолу ченелип коюлат.

х санынын сан огундагы сүрөттөлүшү M чекити болсо, анда ал сан M чекитинин координатасы деп аталат жана M(x) деп белгиленет. Башталгыч чекит Онун координатасы нөлгө барабар, б.а. O(0). OE оң шооласында жаткан ар кандай M чекитинин координатасы OM кесиндисинин узундугуна барабар, б.а. x=|OM| (6-сүр.). Мисалы 6-сүрөттө M чекитинин координатасы 3,5ке барабар.

6-сүрөт 7-сүрөт

Эгерде M чекити терс шоолада жатса (7-сүр.), анда анын координатасы OM кесиндисин узундугунун терс белгиси менен алынганына барабар, б.а. x=-|OM|. Мисалы 7-сүрөттө M чекитинин координатасы ге барабар. Сан огунун баарын Oх менен белгилешет.

Анык сандардын барабарсыздык катышы, сан огунда мындайча аныкталат: эгерде болсо, анда координатасына ээ болгон чекит координатасына ээ болгон чекиттин сол жагында жайгашкан деп түшүнөбүз.

Сан огундагы жана чекиттеринин арасындагы аралык жана координаталарынын айырмасынын модулуна барабар:

Ошентип сан огунун ар бир чекитине бир жана жалгыз гана анык сан тиешелештикке коюлат; сан огунун ар түрдүү чекиттерине ар түрдүү анык сандар туура келет; сан огунун кээ бир чекиттерине туура келбеген бир дагы анык сан жок.

Демек сан огунун бардык чекиттеринин көптүгү менен бардык анык сандардын көптүгүнүн арасында өз ара бир маанилүү тиешелештик орун алат. Тактап айтканда, сан огундагы чекиттердин сүрөттөлүшүнөн R көптүгүндө «көзөнөктөрдүн» жоктугун байкайбыз жана R көптүгү аябагандай «тыгыз» экендигине ишенебиз, б.а. анык сандардын көптүгү алды жакта каралып өткөн сан көптүктөрүнүн баарын өз ичине камтыгандыгын көргөзмөлүү элестетебиз.

5.6. Анык сандын модулу.

a анык санынын модулу (же абсолюттук чоңдугу) деп

барабардыгы менен аныкталган санын айтабыз, б.а. терс эмес сандын модулу ал сандын өзүнө барабар; терс сандын модулу ал сандын карама-каршы белгиси менен алынганына барабар. Мисалы

a санынын модулун геометриялык мааниси сан огунда O чекитинен a санына туура келген чекитке чейинки аралыкты билгизет (биз алдыңкы пунктта караганбыз).

Модулдун кээ бир касиеттерине токтололу.

1. Ар кандай a саны үчүн барабардыгы туура. Бул барабардык модулдун аныктамасынан түздөн-түз келип чыгат.

2. Ар кандай a жана b сандары үчүн

барабардыктары ар дайым туура.

Бул барабардыктар оң жана терс белгилердин эрежелеринен келип чыгат.

3. Ар кандай a саны үчүн барабарсыздыгы туура. Бул барабарсыздыктын тууралыгы модулдун аныктамасынан келип чыгат.

4. Ар кандай a үчүн кош барабарсыздыгы туура.

Далилдөө. Эгерде анда . Ал эми болсо, анда мындан келип чыгат. Демек ар кандай a үчүн барабарсыздыгы туура. Ошондой эле эгерде болсо, анда жана бул барабарсыздыктын эки жагын ге көбөйтсөк келип чыгат, же эгерде болсо, анда же болот. Демек ар кандай a үчүн барабарсыздыгы дагы туура экен.

5. Эгерде болсо, анда болот.

6. Эгерде болсо, анда

болот.

7. Ар кандай a жана b үчүн барабарсыздыгы (үч бурчтуктар барабарсыздыгы) туура болот.

Далилдөө. Биз 4-касиеттин негизинде мынтип жазсак болот: Бул эки барабарсыздыкты мүчөлөп кошуп кош барабарсыздыгын алабыз. 5-касиеттин негизинде экендигине ишенебиз.

5.7. Сан аралыктары.

Айталы жана болсун. Төмөнкү таблицада сан аралыктары деп аталуучу сан көптүктөрүнүн аталышы, аныктамасы, белгилениши жана сан огунда сүрөттөлүшү берилген. Сан аралыктарынын ар бири кандайдыр бир белгилүү барабарсыздыкты канааттандыруучу x анык сандарынын көптүгү катары аныкталат.

Анык сандардын R көптүгүн деп белгилешет жана сан огу (сан түз сызыгы) деп да айтышат.

Сан көптүктөрүн караганда «элемент», «сан» деген сөздөрдүн ордуна «чекит» деген сөз да колдонулушу мүмкүн. Мисалы «6 саны кесиндисине таандык» дебестен «6 чекити кесиндисине таандык» же «6 чекити кесиндисинде жатат» деп айтса да болот.

5.8. Сан көптүктөрүнүн биригүүсү жана кесилиши.

Эң алгач айтылган көптүктөр жөнүндөгү жалпы маалымат менен сан аралыктарын байланышта карап, биз эми сан көптүктөрүнүн бирикмеси жана кесилишине токтололу. Айталы жана болсун, анда ушул a жана b сандарына карата R көптүгүнө камтылган сан көптүктөрүнүн биригүүсүн ([– белгиси менен жазылат) жана кесилишин ({– белгиси менен жазылат) төмөнкү таблицалардан көрсөтөлү.

Эскертүү: эгерде бирикменин же системанын барабарсыздыктары так эмес барабарсыздыктар менен берилсе, анда I-таблицадагы жабык (же жарым ачык) аралыктарды пайдалануу менен иш алып барылат.

Эми биз сан көптүктөрүнүн биригүүсүнө жана кесилишине байланыштуу берилген бир нече мисалдарды карайлы.

б) II-таблицанын I-бирикмесин жана көптүктөрдүн биригүүсүнүн касиеттерин (б.а. жана ) пайдаланып төмөнкүгө ээ болобуз:

Жооп: .

в) Бул жерде да II-таблицасынын 1, 2 жана 4-чү бирикмелерин пайдаланып мындайча чыгарабыз:

Жооп: .

Жооп: системанын чыгарылышы жок.

в) III-таблицадагы 1-3-чү системаларды ирээти менен пайдаланып, б.а. бирдей маанидеги барабарсыздыктарды топтоп кароо менен төмөнкүгө ээ болобуз:

Жооп: .

б) Жогорудагыга окшош эле аракет жасап төмөнкүгө ээ болобуз:

Жооп: .

в) Эң алдын системанын ичиндеги бирикме менен системанын ар бири үчүн II, III-таблицалардын тиешелүү пунктарын пайдаланып төмөндөгүдөй чыгарабыз:

Жооп: .

г) Алдыда чыгарылган мисалдардын алгоритмине окшош эле кадамдарды жасоо менен жана кош барабарсыздык эки барабарсыздыктын системасына тең күчтүү экендигин эске алсак, анда төмөнкүгө ээ болобуз:

Жооп: .

Келтирилген мисалдарды чыгарууда геометриялык сүрөттөлүштөрдү пайдаланса дале болот. Маселен

системасын геометриялык сүрөттөлүштү пайдаланып чыгарсак, анда төмөнкүгө ээ болобуз

Ддаярдаган А.Д.Ибраев