Эми х=- 1 болгондо  ге, б. а. 3 кө барабар болгон ОК, кесиндисин ченеп коюп, х ке - 1 ден баштап чек­сиз уланып кете берүүчү бүтүн терс сандардын катарынантурган -1; -2; -3: -4; -5; ... маанилерди беребиз. Мында да К чекити  Р чекитине чексиз жакындай берет, анткени, х тин абсолюттук чоңдугу  чексиз өскөндө  тин абсолюттук чоңдугу чексиз кичирейе берет, демек  дин мааниси 4 кө жакындап өсө берет.

 

Бир сөз менен  айтканда, К₁ менен Р нын арасындагы аралыктын абсолюттук чоңдугу эркибизче тандалып алынган турактуу оң сан канчалык кичине болушуна карабастан, ошол кичине сандан да кичине болот жана өзүнүн андан аркы өзгөрүшүндө кичине бойдон кала берет.

Мына   ошентип,   турактуу   4 саны   менен   өзгөрүлмөлүү  санынын айырмасы жогоруда айтылган шартта  чексиз кичине сан болуп чыкты.

 

Аныктама: Эгерде турактуу сан менен өзгөрүлмөлүү чоңдуктун айырмасы чексиз кичине чоңдук болуп   чыкса, анда турактуу сан өзгөрүлмөлүү чоңдуктун   предели   деп аталат.

Биздин мисалда, 4 саны х тин абсолюттук мааниси чек­сиз өскөн кездеги өзгөрүлмөлүү

 

  чоңдугунун предели болуп эсептелет.   Бул факт _пред. = 4 же     деп

 

 белгиленет, «lim» латын тилинин «limes» деген сөзүнөн алынган, орусча «предел» дегенди (бизче «чек» дегенди) түшүндүрөт.  деген х чексиз өсөт де­генди түшүндүрөт.

Жалпысынан алганда, эгерде кандайдыр бир турактуу а саны менен өзгөрүлмөлүү   х саны каралып   жаткан   маселенин шартында (а—х)<   барабарсыздыгын канааттандырса, мында  - чексиз кичине сан, анда lim x = a болот.

Жогоруда айтылгандардын негизинде:

     а) ар кандай чексиз кичине   сандын   предели нөл болот;

б) ар кандай чексиз чоң сандын предели чексиз () болот;

в) ар кандай чектүү өзгөрүлмөлүү сандын предели белгилүү бир турактуу сан болот.

г) ар кандай турактуу сандын предели өзүнө барабар бо­лот, деген корутундуларды чыгарууга  болот.

Мисалдар:

    1) Тегерекке ичтен сызылган туура п бурч­туктун жактарынын саны чексиз өскөндө анын ички бурчу эмнеге умтула тургандыгын аныктагыла.

    Чыгаруу.  Туура п бурчтуктун, ички бурчтарынын суммасы 2 а(п - 2), эгерде ар бир ички

 

 бурчун х деп белгилесек, анда мындан  же  көп

 

 бурчтуктун саны п чексиз  өскөндө  саны, демек, саны чексиз кичине сан болот жана х

 

өзгөрүл өзгөрүлмөлүү x санынын айырмасы чексиз кичине санга ге барабар болуп чыгат, б. а. 2d саны х тин предели, ошентип:  

     2) Жогорку   эле   маселенин   шартында   көп  бурчтуктун апофемасы эмнеге умтула тургандыгын аныктагыла.

 Чыгаруу. Ичтен сызылган көп бурчтуктун жактарынын саны чек­сиз өскөндө кеп бурчтуктун жагы АВ чексиз кемүүчү өзгөрүлмөлүү сан болуп, анын узундугу чексиз кичине сан менен туюнтула тургандыгы  жогоруда айтылып   кетти.

 

Бул учурда көп бурчтуктун апофемасы ОС да (5-инчи чиймени карагыла) өзгөрүлмөлүү чоңдук, ал эми тегеректин радиусу ОВ болсо турактуу. ОВС үч бурчтугунан ОВ < ОС+ СВ, мындан ОВ-ОС<СВ жагынын саны чексиз өскөндө туура көп бурчтуктун жагынын узундугу АВ, демек  чексиз   кичине   сап болгондуктан турактуу  OB = R кичине экендиги акыркы  барабарсыздыктан   көрүнүп турат.

Демек, ичтен сызылган туура көп бурчтуктун   жактарынын саны чексиз өскөн кезде анын апофемасы өсүп отуруп айлананын радиусуна умтулат, б. a.

 

3) Бизге чексиз кемүүчү геометриялык    ... прогрессия берилип, анын мүчөлөрүнүн суммасын аныктоо маселеси талап кылынсын.

     Чыгаруу. Адегенде S_n аркылуу биринчи п мүчөсүнүн гана суммасын белгилеп, аны чектүү эле геометриялык прогрессиянын п мүчөсүнүн суммасын табуу формуласы боюн­ча эсептейли:

 

  мында  же   экендигине  ээ болобуз.

 

Прогрессиянын мүчөлөрүнүн саны п чексиз өскөндө S_n өзгөрүлмөлүү чоңдук болот, ал эми прогрессия чексиз кемүүчү болгондуктан сөзсүз   демек qⁿ   чексиз кичине сан.

Бул чексиз кичине санды туракт    санына көбөйткөндөн панда болгон саны да чексиз кичине сан болот. Ошент турактуу     саны мен   өзгөрүлмөлүү   S_n санынын айырмасы чексиз кичине сан болуп чыкты (акыркы барабардыкты карагыла). Демек

    

       4) Бизге АВС тик бурчтуу үч бурчтугу берилген (5а-чийме);   мында  Үч бурчтуктун В   чокусу   СД  перпендикуляры боюнча   ВС   катети чексиз кичирейе тургандай болуп төмөн   карай   жылган кезде  АВ  гипотенузасы менен экинчи АС катетинин айырмасы кандай чоңдук боло тургандыгын тапкыла.

Үч бурчтуктун жактарынын арасындагы өз ара байланыштыктан 0<AВ- АС<ВС экендигине ээ болобуз. Маселенин шартында lim ВС=0, демек,

lim (AB—АС) = 0, б. а. АВ гипотенузасы менен АС катетинин айырмасы чексиз кичине чоңдук болуп эсептелет, бирок мында АВ өзгөрүлмөлүү чоңдук, АС — болсо турактуу чоңдук, ошондуктан lim АВ = АС.

 

§ 5. Предел жөнүндөгү негизги теоремалар.

 

1. Теорема: Ар биринин предели бар өзгөрүлмөлүү чоңдуктардын алгебралык суммасынын предели ошол эле чоңдуктардын пределдеринин  алгебралык  суммасына  барабар.

Мисалы, эгерде: lim x = a, lim y = в, lim z = c болсо, анда lim (х + у - z)= lim x + lim y - lim z = a + в - с.

2. Теорема: Ар биринин предели бар өзгөрүлмөлүү
чоңдуктардын   көбөйтүндүсүнүн  предели  ошол эле чоңдуктардын пределдеринин көбөйтүндүсүнө барабар.

Мисалы, эгерде: lim x = a, lim y = в, lim z = c болсо, анда

    Натыйжа  (турактуу андын предели өзүнө бара­бар) болгондуктан, эгерде lim x = a болсо, анда б. а. турактуу сан менен өзгө­рмөлүү сандын көбөйтүндүсүнөн предел тапканда турак­туу санды пределдин белгисинин сыртына чыгарып жазууга болот.

3. Теорема: Ар биринин предели бар эки өзгөрүлмөлүү
чоңдуктун бирин экинчисине бөлгөндөн (мында бөлүүчүсүнүн предели нөлгө барабар болбосо) чыккан тийиндинин предели ошол эле чоңдуктардын пределдеринин тийпндисине барабар.Мисалы, эгерде lim х = а, lim у = в о болсо, анда   

 

 

 

Окуучуларга предел жөнүндөгү берилүүчү негизги түшүнүктөр, кыскача мына ушулар, мындан тышкары бул түшүнүктөрдү төмөндөгүчө жалпылоо менен   аяктоого болот:

1)  Эгерде өзгөрүлмөлүү чоңдук өзүнүн өзгөрүшүндө кандайдыр бир турактуу санга жакындашып, алардын айыр­масы чексиз кичине сан болуп кетсе, айда ал туурактуу сан өзгөрүлмөлүү сандын предели деп аталат.

2) Ар кандай өзгөрүлмөлүү сан бир гана пределге ээ боло алат.

Өзгөрүлмөлүү чоңдук эки башка пределге ээ болушу мүмкүн эмес, бирок, ар кандай эле өзгөрүлмөлүү чоңдук пределге ээ боло бербейт. Мисалы, өзгөрүлмөлүү Sin чоңдугу а. бурчунун уламдан улам өсүшү менен +1 жана -1 дин арасындагы маанилерге ээ боло берет да эч бир пре­делге ээ боло албайт.

3)   Эгерде эки өзгөрүлмөлүү сан өздөрүнүн бардык өзгөрүлүшүндө бири бирине барабар болушса, анда алардын пределдери да барабар.

4)   Эгерде эки өзгөрүлмөлүү сандын айырмасы чексиз кичине сан болсо жана алардын бири турактуу а санынан дайыма чоң болуп, экинчиси дайыма кичине болуп кала берсе, анда а саны эки өзгөрүлмө сандын экөөнүн тең пре­дели болуп эсептелет.

5)   Айырмасы чексиз кичине сан болгон эки өзгөрүлмөлүү чоңдук жалпы пределге ээ болушат. Предел жөнүндөгү түшүнүктү төмөнкү суроолор боюнча кайталап чыгуу (же жазма иш өткөрүү) керек:

 1) Кандай чоңдук турактуу, кандай чоңдук өзгөрүлмөлүү деп аталат?

2)      Кандай сан чексиз кичине, кандай сан чексиз чоң, кандай сан чектүү өзгөрүлмөлүү сан деп аталат?

3)   өзгөрүлмөлүү чоңдугу кандай шартта чексиз   кичиене? чексиз чоң? чектүү өзгөрүлмөлүү  чоңдук болот?

4)  а турактуу, х өзгөрүлмөлүү чоңдук кезинде ах көбөйтүндүсү чексиз кичине чоңдук болуш үчүн кандай шарт керек?

5)  Кандай шартта өзгөрүлмөлүү эки сандын көбөйтүндүсү чексиз кичине сан болуп чыгат?

6)      Чексиз кичине сандардын суммасы да чексиз кичине сан болуп чыксын үчүн кандай шарт керек?

7)  Кандай шартта берилген турактуу сан берилген өзгөрүлмөлүү сандын предели боло алат?

8)   а турактуу сан, х тин чексиз өсүшүндө lim эмнеге барабар х тин чексиз кемишинде  lim эмнеге барабар?

    9)          Берилген чектүү өзгөрүлмөлүү чоңдук канча пределге ээ болушу мүмкүн?

    10)     Кандай   шартта   чектүү   өзгөрүлмөлүү   эки    чоңдук жалпы пределге ээ болушат?

   11)     Кандай   шартта   берилген   өзгөрүлмөлүү  чоңдуктун предели экинчи бир   өзгөрүлмөлүү     чоңдук   үчүн да предел боло алат?

   II      ГЛАВА      

ФУНКЦИЯ

     § 1. Функция жөнүндө түшүнүк

          Функция жөнүндөгү түшүнүк математиканын эң негизги түшүнүгү болуп эсептелет. Математиканын мектептектик курсунда окуучулар функция жөнүндөгү түшүнүк менен мурда тааныштырылган.

         Бул жерде, биздин айлана чөйрөбүздө болуп өтүп жаткан жаратылыштын бардык кубулуштары өз ара түрдүү функциялык байланыштыкта экендигин окуучуларга дагы бир жолу эскертип, математиканын өзүнөн, физикадан, химиядан ж. б. лардан бир катар мисалдар келтирилип кетүү керек.

         Мисалдар. 1) = байланыштыгы радиустун өзгөрүлүшүндө тегеректин аянты кандайча өзгөрө тургандыгын билүүгө толук мүмкүнчүлүк берет, ушул эле сыяктуу,  байланыштыгынан пайдаланып радиустун өзгөрүшү менен айлананын узундугу кандайча өзгөрө тургандыгын аныктоого болот. Ал эми байланыштыгы болсо, көп бурчтуктун жагынын саны өзгөргөндө анын ички бурчтарынын суммасы кандайча өзгөрүлө тургандыгын көрсөтөт.

         2) t) байланыштыгы температуранын өзгөрүшүндө кандайдыр бир нерсенин узундугунун, мисалы, темир жолдун рельсинин узундугунун өзгөрүшүн аныктоого мүмкүнчүлүк берет. Мында -температура кезиндеги нерсенин баштапкы узундугу, = температура ар кандай t градус кезиндеги нерсенин акыркы узундугу, сызыктуу кеңейиштин коэффиценти, узундугу t температурадан болгон бул сыяктуу көз карандылыгынын эң чоң практикалык мааниси бар. Мисалы, темир жолду курууда рельс жайдын эң ысык күндөрүндө канчалык узара тургандыгын жана кыштын эң суук күндөрүндө канчалык кыскара тургандыгын билүү зарыл.

         Аныктама: Эгерде х жана у өзгөрүлмөлүү чоңдуктары өздөрүнүн өзгөрүшүндө аргумент деп аталуучу х тин мүмкүн болгон ар бир маанисине у тин бир же бир нече анык мааниси туура келгидей болуп өзгөрсө, анда өзгөрүлмөлүү у чоңдугу өзгөрүлмөлүү х чоңдугунан функция деп аталат.

         Мисалы,  барабардыгында х тин ар бир маанисине у тин белгилүү бир гана анык мааниси туура келет.  фунциясы менен аргументинин байланыштыгын жалпы түрдө көрсөтүү үчүн y=же ж. у. с. белгилөөлөр  колдонулат.

         Мында, … тамгалары х аргументинин берилген маанисине туура келүүчү функциянын маансисин табуу үчүн ошол аргументтин үстүндө алгебралык кандай амалдарды жүргүзүү керек экендигин көрсөтөт. Мисалы деген байланыштыкты кыскача  деп белгилей турган болсок, анда тамгасы эмнени туюндурат?

         тамгасы – х тин берилген маанисине туура келүүчү у тин маанисин табуу үчүн х тин ошол маанисин эки даражага көтөрүп, ага х тин ошол эле маанисин эки даражага көтөрүп, ага х тин ошол эле маанисин 3 эселентип кошкондон чыккан суммадан 1 ди кемитип таштоо керек дегенди туюнтат.

         Чынында эле, аргументтин ге маанисине туура келүүчү функциянын (у) маанисин табуу үчүн   деп эсептейбиз.

         Албетте, , … символдорунун ар бири ар түрдүү функциялык байланыштыкты туюнтат, мисалы:

 = 

          Мында дал ушул жерде аргументтин түрдүү мааниси үчүн функциянын маансисин эсептеп чыгарууну окуучулардан талап кылуу керек, мисалы алар

             

ж. у. с. Маанилерди эсептеп чыгарышсын.

         Эми функцияга берилген аныктаманы жакшылап түшүнүү үчүн анны бир четинен анализдеп көрөлү:

         Аныктамада » … аргумент деп аталуучу  тин мүмкүн болгон ар бир маанисине…» делинип айтылган, эмне үчүн мында «мүмкүн болгон» деген сөз кошулган? Себеби, көпчүлүк функциялык байланыштарда функция ар дайым эле аргументтин бардык маанилери үчүн аныктала бербейт, мисалы: у= функциясын ала турган болсок, ал аргументтин болгон маанилеринде эч бир анык мааниге ээ эмес, ал эми аргументтин бардык башка маанилерине функция анык мааниге ээ. (Мында х ти мүикүн болгон маанилери үчүн анын 2 ден башка бардык маанилерин алууга болот).

Же у=1+ функциясын ала турган болсок, ал аргументтин 5 болгон бардык маанилери үчүн анык мааниге ээ, ал эми аргументтин х болгон маанилеринин биринде да эч бир анык мааниге ээ боло албайт.(мында х тин мүмкүн болгон маанилери үчүн анын 5 тен кичине болбогон бардык башка маанилерин ала берүүгө болот).

         Демек, функция аргументтин бардык маанилеринде эле эмес, анын кээ бир гана маанилеринде анык мааниге ээ боло алат. Мына ошол: функция аныктала тургандагы аргументтин маанилеринин чогуусу функциянын аныктоо областы деп аталат.

         Мисалы g(х)= фунциясы үчүн аргументтин х= тен башка бардык чын сандардын чогуусу функциянын аныктоо областын түзөт.

          функциясы аргументтин х болгон бардык маанилеринде чын мааниге ээ эмес, ошондуктан бул функциянын аныктоо областы үчүн аргументтин -3 болон маанилерин алууга болот.

         Андан ары, аныктамада »… у тин бир эже бир нече анык мааниси туура келгидей болуп өзгөрсө, анда ….» деп айтылган. Мында эмне үчүн « у тин бир же бир нече анык мааниси  туура келгидей» делинип айтылган? Себеби, ардайым эле аргументтин бир маанисине функциянын да сөзсүз бир гана мааниси туура келе бербестен, кээ бир учурда аргументтин бир эле маанисине функциянын эки же андан да көп маанилери туура келе берет.

         Мисалы: =-1 функциясын ала турган болсок, мында х тин ар бир маансине функциянын да сөзсүз бир гана мааниси туура келет, ошондуктан F(х) функциясы х ке карата бир маанилүү функция деп аталат.

         Ал эми g(х)= функциясын алсак, мында х тин бир эле маанисине функциянын жана деген эки мааниси туура келип жатат, ошондуктан функциясы х ке карата көп маанилүү функция деп аталат.

         Ошондой эле функциясы да көп маанилүү функция болуп эсептелет.

         Эгерде фунциянын кандайдыр бир айрым маанилерин табу үчүн аргументтин берилген маанилеринин үстүндө белгилүү сандагы алгебралык амалдарды (кошу, кемитүү, көбөйтүү, бөлүү даражага көтөрүү, тамырдын чыгаруу) аткаруу гана талап кылынса андай функция алгебралык функция деп аталат. Мисалы, +5х+4 же  жанАлгебралык эмес бардык калган башка функциялар: (тригонометриялык функция)

                                               (көрсөткүчтүү функция)

                                              (логарифмалык функция)

трансценденттик функциялар деп аталышат.

         Алгебралык функциялар рационалдуу (мисалы, ) жана иррационалдуу (мисалы, ) болуп экиге бөлүнүшөт, иррационалдуу функцияларда х аргументи тамырдын белгисинин алдында болот.

         Рационалдуу функциялар да бүтүн райионалдуу (мисалы, у= бжана бөлчөктүү рационалдуу (мисалы у=болуп өз алдынча экиге бөлүнүшөт, бөлчөктүү рационалдуу функцияларда х аргументи бөлчөктүн бөлүмүнө катышкан болот.

         Мындан тышкары, функциялар ачык (явный) жана көмүскө түрдөгү (неявный) болуп да бөлүнүшөт. Ачык функциялар жалпы түрдө түрүндө туюнтулат, көмүскө функциялар жалпы түрдө түрүндө туюнтулушат, мисалы, барабардыгында чоңдугу тен көмүскө функция болуп эсептелет, аны ачык функцияга айландыруу үчүн теңдемени ке карата чыгаруу керек: =(ачык функция). Бир эле теңтемесин туюндуруучу у=функциялары өз ара тескери функциялар деп аталышат:

         Эгерде функция бир гана өзгөрүлмөлүү чоңдуктарга көз каранды болуп өзгөрсө, анда ал эки, үч ж. б. көп өзгөрүлмөлүү чоңдуктардын функциясы деп аталат. Мисалы: эки өзгөрүлмөлүү чоңдуктун функциясы: = үч өзгөрүлмөлүү чоңдуктун функциясы болот. Электр талаасындагы заряддардын өз ара аракеттенишүүчү күчү (Кулондун закону)

         үч өзгөрүлмөлүү чоңдуктардын (функциясы болуп эсептелет.

         Аныктама: Аргумент аныктоо областында өзгөргөндө функция ээ боло ала турган бардык маанилердин чогуусу функциянын өзгөрүү областы деп аталат.

         Функциянын аныктоо областы, функциянын өзгөрүү областы деген жаңы түшүнүктөргө окуучуларды көнүктүрүү үчүн бир катар көнүгүүлөрдү карап көрөлү.

1.      функциясынын аныктоо областы бардык

  

  чыныгы сандардын чогуусунан турат, функциянын өзгөрүү областы да бардык чыныгы сандардын чогуусунан турат. Бул функциянын графиги түз сызык (6-нчы чийме).

          Графиктин бардык чекиттерин ОХ огуна проекциялап, функциянын аныктоо областынын геометриялык сүрөтөлүшү болгон бүткүл ОХ огуна б. а. бардык чыныгы сандардын чогуусуна ээ болобуз.

         Графикти ОУ огуна прекциялап, функциянын өзгөрүү областынын геометриялык сүрөттөлүшү болгон бүткүл ОУ огуна, б. а. дагы эле бардык чыныгы сандардын чогуусуна ээ болобуз.

  2.  функциясынын аныктоо областы бүткүл чыныгы сандардын чогуусунан турат.

  Чокусу координаттар башталмасында жаткан парабола булл функциянын графиги болуп эсептелет (7-нчи чийме).

Параболанын бардык чекиттерин огуна прекциялап, функциянын аныктоо областынын геометриялык сүрөттөлүшү катарында огуна, б. а. бардык чыныгы сандардын чогуусуна ээ болобуз.

         Параболанын бардык чекиттерин ОУ огуна проекциялап, функциянын өзгөрүү областынын геометриялык сүрөттөлүшү катарында огунун терс маанилерден турган бөлүгүнө б. а. бардык оң эмес чыныгы сандардын чогуусуна ээ болобуз.

2.            функциясынын аныктоо областы аргументтин бардык чыныгы маанилеринен турат, ал эми өзгөрүү областы болсо ден ге чейинки чыныгы сандардын чогуусунан турат.

Графиги – синусоида сызыгы. (8-чийме).

Синусоиданын бардык чекиттерин ОХ огуна прекциялап, функциянын аныктоо областынын геометриялык сүрөттөлүшү катарында ОХ огуна, б. а. бардык чыныгы сандардын чогуусуна ээ болобуз.

  

          Функциянын өзгөрүү областын табу үчүн синусоиданын бардык чекиттерин огуна прекциялайбыз, мында функциянын өзгөрүү областынын геометриялык сүрөттөлүшү катарында огунун чейинки кесиндисине, б. а. чейинки чыныгы сандардын чогуусуна ээ болобуз.

         Окуучулардын өз алдыларынча иштөөлөрү үчүн көнүүгүлөр: 1. функциясынын аныктоо областын, өзгөрүү областын тапкыла. Графигин түзүп,функциянын аныктоо жана өзгөрүү областтарынын мааниси график боюнча түшүндүргүлө.

         2.  функциясы үчүн да мына ушул айтылгандарды иштегиле.

          3.  ƒ(х)= функциясы үчүн да жогоруда айтылгандарды иштегиле.

           4.     ƒ(х)= функциясынын аныктоо областын тапкыла.

5.      функциясынын аныктоо областын тапкыла.

6.     g(0);   g  g  маанилерин эсептеп чыгаргыла.

7.     F(x)= функциясынын аныктоо областын таап, F маанилерин эсептеп чыгаргыла.

8.     Төмөнкү функциялардын аныктоо областтарын тапкыла.

1)   ƒ(х)=  2)   3) g(x)=

4)  ƒ(у)=  5) h(z)=  6)

7) -  8) S(t)=

       9) =

         Эскертүү: Аргументтин бберилген маанисине функциянын белггилүү бир же бир нече анык маанисинин туура келиш закону.

         1) теңдеме түрүндө берилген учурун биз жогоруда көрүп өттүк, муну биз функциянын аналитикалык берилиши дейбиз.

         2) функциялык байланыш таблица түрүндө да берилет, булл көбүнчө жаратылыш илимдеринде жана техникада чоңдуктардын бири бирине көз карандуулугун эксперименталдык жол менен же байкоо жүргүзүүнүн натыйжасында аныктоодо колдонулат. Мисалы: суткалык температуранын убакыттын өтүшүнө карата өзгөрүшүнүн таблицасы (28-инчи декабрь 1958 жыл үчүн).

 

Сутканын ичиндеги убакыт саат м-н	0	1	2	3	4	5	6	7	8	12	14	17	18	19	20	22	24
Сутканын ичиндеги температура градус менен	-8	-9	-9	-11	-13	-10	-9	-7	-5	0	-1	-3	-7	-7	-9	-11

     Бул сыяктуу көз карандуулуктар маселелер катарында көп берилген. Же, автомобилди пайдалануу мөөнөтү өскөн сайын ар бир 100 км аралыкты өтүү үчүн зарп кылынуучу бензиндиин санынын өзгөрүшүнүн таблицасы ж. у. с.

         3) Функциялык байланыш кээ бир учурда өзү жазуучу куралдардын жардамы менен график түрүндө да берилет. Мисалы, барографтын жазган барограммасы сутканын ичиндеги атмосфералык басымдын өзгөрүшүн сүрөттөйт,

         4) Функциянын байланыш карандай сөз менен да берилет. Мисалы, эгер агротехникалык чаралар толук колдонулса эгиндин түшүмү мол болот; эгер поршенге берилүүчү буундун саны өзгөрсө анда паровоздун кыймылынын ылдамдыгы да өзгөрөт ж. б.

          § 2.  Функциянын монотондуулугу (бир тектүүлүгү).

           барабарсыздыгын канааттандыруучу бардык чыныгы сандардын чогуусу а дан в га чейинки аралык деп аталат.

          барабарсыздыгын канааттандыруучу бардык чыныгы сандардын чогуусу а дан в га чейинки кесинди деп аталат.

         Функция өзүнүн аныктоо областынын кээ бир жерлериндеги аргумент өссө өсөт, кемие кемийт же тескерисинче, аргумент өссө өсөт. Ушуга карата функция өсүүчү жана кемүүчү болуп экиге бөлүнөт;

         Аныктама: Эгерде функциясы өзүнүн аныктоо областынын кээ бир аралыгында аргумент өскөндо өссө, б. а.

 болгондо ƒ(ƒ( болсо, анда ал дал ошол аралыкта өсүүчү функция деп аталат.

         Мисалы: 1) ƒ(х)=8- функциясы өзүнүн аныктоо областынын бардык жеринде тең эмес, мисалы – 4  кесиндисинде өсүүчү функция болот.Бул анын графигинен (9-унчу чийме) ачык көрүнүп турат.

         2) Эгерде у=Sinx функциясын алып көрө турган болсок, анда ал өзүнүн аныктоо областынын ичинен -ар кандай бүтүн сан) кесиндилердин

бардыгында тең өсүүчү болот, муну анын графигинен да ачык эле көрүүгө болот (10-чийме).

 

          Аныктама: Эгерде функциясы өзүнүн аныктоо областынын кээ бир аралыгында аргумент өскөндө кемисе, б. а. ƒƒ( болсо, анда ал дал ошол аралыкта кемүүчү функция деп аталат.

         Мисал үчүн жогоруда келтирилген функцияларды эле карап кетүүгө болот, атап айтканда  кесиндисине кемүүчү; ал эми функциясы болсо, бардык  кесиндилеринде кемүүчү функция болот (9-унчу жана 10-унчу чиймелерди карагыла).

_________________________________________________________________________________

         Жалпысынан алганда бул функция -аралыгында өсүүчү, бирок биз -4кесиндисин гана алдык.

______________________________________________________________________________________________________ 

            Аныктама: Эгерде функция өзүнүн бүткүл аныктоо областында жалаң гана кемүүчү болсо, анда ал монотондуу деп аталат.

         Бирок, функция өзүнүн бүткүл аныктоо областында болбосо да ошол  областтан алынган кандайдыр бир аралыкта монотондуу болушу да мүмкүн.

         Демек функциянын аныктоо областынын ичинен функция же жалаң ган өсө турган же функция жалан гана кемий турган аралыктарды табу функциянын монотондулуугунун аралыгын (б. а. функция монотондуу боло турган аралыкты) табуу дегендикке жатат. Мисалы, кандайдыр бир функциясынын графиги 11-инчи чиймедегидей болсо, анда ал аралыгында монотондуу өсүүчү;  аралыгында монотондуу кемүүчү функция болот.

         Көнүгүү:           

                              1) ƒ(х)=-2х+1

 функциясынын монотондуулук аралыгын тапуыла.

         Чыгаруу. Мисалы, болсун, ƒƒайырмасын табалы.

          ƒƒ

         Биринчи көбөйүүчү  эгерде  ден болсо экинчи көбөйтүүчү да оң болот. Эгерде  ден болсо, анда экинчи көбөйтүүчү терс болот.

         Демек, биринчи учурда ƒ(ƒболот, экинчи учурда ƒ(ƒ болот. Мына ошентип, функция аргументтинбардык  маанилери үчүн монотондуу өсүүчү болот;  маанилери үчүн монотондуу кемүүчү болот.

 

          Эскертүү: Мында аргументтин бардык х маанилери үчүн дегенди  ден деп түшүнүү керек. Ошондой эле, аргументтин бардык  маанилери үчүн дегенди сөзсүз 1 ден деп түшүнүү керек.

         Эгерде андай болбосо, мисалы, «аргументтин бардык  маанилери үчүн» дегенди  деп кабыл ала турган болсок, анда  суммасы 2 ден кичине болуп калышы мүмкүн.

         Демек, булл учурда ƒ(ƒ( айырмасынын туруктуу белгиси болбойт, ошондуктан биз болгондо ƒ(ƒ( болоорун же болбосун, б. а. функциясынын өсүүчү боло тургандыгын же кемүүчү боло тургандыгын аныктай албайбыз.

         2)  функциясынын монотондуулук аралыгын тапуыла.

         Чыгаруу. Мисалы,  болсун, айырмасы кандай белгиге ээ экендигин карап көрөбүз.

        

 

 

Мында биринчи көбөйтүүчү х экинчи көбөйтүүчү да (чарчы кашанын ичи) оң сан, анткени ал үч оң сандын суммасы. Ошентип,  демек, ар кандай  дендер үчүн  лерге ээ болобуз, б. а. функция өзүнүн бүткүл аныктоо областы боюнча өсүүчү болуп эсептелет, демек ал жалпысынан алганда да монотондуу.

         Мына ушундан кийин окуучуларды так жана жуп функциялар менен да тааныштырып кетүү зарыл.

         Эгерде функция ƒ(х)=ƒ(-х) касиетине ээ болсо, анда ал жуп функция деп аталат.

         Мисалы  1)

ж. б. х тин бардык маанилери үчүн ушундай.

         2) cosx функциясы да жуп функция, анткени, ар кандай үчүн Чындыгында эле:  ж. б. х тин бардык маанилери үчүн ушундай.

         Эгерде болбостон, болсо, анда ал функция так функция деп аталат.

         Мисалы: 1)  +  функциясы так функция, анткени, t+

         Чындыгында эле ж. б. нын бардык маанилери үчүн ушундай.

2)     функциясы да так функция, анткени, ар кандай үчүн  Чындыгында эле:

            sin

ж. б. х тин бардык маанилери үчүн ушундай.

         3) Ал эми F(y)= функциясы болсо жуп функция, анткени,

          F(-y)=

                   § 3. Функциянын предели жөнүндө түшүнүк.

          Окуучулар өзгөрүлмөлүү чоңдукту өздөштүргөндөн кийин ошол негизде аларга эми функциянын предели жөнүндөгү түшүнүк берилет.

         Адегенде сандын (чекиттин) айланасы (окрестность) деген түшүнүк киргизели.

         Аныктама: (х- х+) аралыгы х санынын (чектинин) айланасы деп аталат, мында ар кандай оң сан.

         Мисалы, (4,98; 5,02),  (4,998; 5,002),  (4,9999; 5,0001), жана (4,9; 5,1) аралыктары 5 санын айланалары болушат.

         Сан огунда 5 саны белгилүү бир чекит менен сүрөттөлөт, ал эми бул сандын айланасы болсо ортоңку чекити 5 болгон кесиндинин ички чекиттеринде чогуусу менен сүрөттөлөт.

         Функциянын предели жөнүндөгү түшүнүктү берүүдөн мурда бир катар мисалдарды карап көрөлү.

         1-инчи мисал. функциясын алып, анын графигин түзөлү (12инчи чийме). Аргументтин кандайдыр бир маанисин, мисалы, болгон маанисин алалы да аларды чиймеде катары менен жана тамгалары менен белгилейли.

         Ушул эле функциянын анын 8ге барабар болгон маансинин айланасында б. а.  (8- аралыгында карап көрөлү.

         Чиймеде  жана (8-аралыгы ОУ огунун D менен С чекиттеринин арасындагы чекиттердин чогуусу катарында көрсөтүлгөн. Функциянын С дан D га чейинки бардык маанилери, албетте,  ….(1).

 

     Функциянын маанилери мына ушул (1) барабарсыздыкты канааттандыра тургандагы аргументтин маанилери кандай шартты канааттандыруулары керек экендигин табуу үчүн, оу огундагы проекциялары С жана D болгон графиктин Р жана К чекиттерине ох огуна прекциялап, А жана В чекиттерине ээ болобуз. Албетте, Бул аралыгын  аркылуу белгилейли. (1) барабарсыздык аткарылыш үчүн х аргументинин А дан В га чейинки бардык маанилери ….(2) барабарсыздыгын канааттандыруусу зарыл. Ар кандай  (ал канчалык кичине, канчалык чоң болбосун) үчүн өзүнө тийиштүү  санын көрсөтүүгө болот.

                            барабарсыздыгынан

                                  

         Ошентип, аргументтин маанилери (3) шартты канааттандыра тургандай болуп алынгганда функциянын маанилери (1) шартты канааттандырышат, б. а. (3) дөн (1) келип чыгат.

         Демек, аргументтин маанилери (2) барабарсыздыкты канааттандырсын үчүн  деп алып коюу гана жетиштүү.

         Эми:  барабарсыздыгын канааттандыруучу х тин бардык маанилери үчүн барабарсыздыгы канааттандырылуучу ар кандай берилген үчүн  саатын көрсөтүүгө болот-деген факт төмөндөгүчө туюнтулат.

         х аргументи 4 кө умтулгандагы f(х)=0,5х+6 функциясынын предели 8 ге барабар, жана ал төмөндөгүчө жазылат; lim(0,5х+6)=8

         Бул мисалда х=4 болгон кездеги функциянын мааниси да 8 ге барабар.

         2-инчи мисал. y=g(x)= жана анын графигин карап көрөлү (13-чийме). Х аргументинин үчкө барабар болгон маанисин жана ага туура келүүчү функциянын 5,5 маанисин алабыз да аларды чиймеде катары менен М жана N тамгалары аркылуу белгилейбиз.

         Функциянын анын 5,5 ке барабар болгон маансинин айланасында, б. а. (5,5- 5,5+ аралыгында карап көрөлү, мында 5,5 кылып алабыз).

         Чиймеде DN=NC

         Функциянын С дан D га чейинки бардык маанилери

                         . . . .(1)

Барабарсыздыгын канааттандырышат.

(1) барабарсыздык аткарылсын үчүн аргументтин маанилери кандай шартты канааттандыруулары керек? ОУ огундагы проекциялары С жана D чекиттери болгон функциянын графигинин Р жана К чекиттерин ОХ огуна проекциялап С жана D чекиттерине туура келүүчү А жана В чекиттерине ээ болобуз. А чекиттеринин обциссасы  В чекитинин обциссасы

         Мында атап айтканда

                               дан

Чындыгында эле:

АМ=3-      МВ=

       АМ   болот дейли,  б.  а.

         3-- 3

           +

             36

               18

                  9

                   81

 бул туура барабарсыздык демек,  деген биздин болжолдообуз да туура. ны М точкасынан ченеп коебуз. ОХ огунун жана В точкаларынын арасындагы бардык точкалар үчүн …(2)  мында  демек функциянын маанилери боюнча (1) барабарсыздык аткарылсын үчүн аргументтин маанилери (2) шартты канааттандыруулары зарыл, ал эми (2) шарт толук аткарылсын үчүн  кылып алуу гана жетиштүү.

         Геометриялык жагынан алганда бул эмнени көрсөтөт?

Бул-эгерде аргументтин мааниси үчүн ОХ огу боюнча  ден В га чейинки аралыктын кандайдыр бир чекиттерин ала турган болсок, анда ошол чекитке туура келүүчү функциянын мааниси сөзсүз СD кесиндисинин ичинде гана болот дегендикти көрсөтөт.

         Алдыңкы мисалдагыдай эле, х аргументи 3 ке умтулгандагы g(х)= функциясынын предели 5,5 ке барабар, б. а.

                     

         болгон кездеги функциянын мааниси да 5,5 ке барабар, б. а.

                          

         Мына ушул жогоруда каралып өткөн мисалдардын негизинде төмөнкүдөй аныктама келүүгө болот:

         Аныктоо: Эгерде ар кандай  саны үчүн  (мында - функциянын белгилүү бир маанисинин айланасын түзүү үчүн эң обол алынган ар кандай оң сан) барабарсыздыгы аткарыла тургандыгы х тин бардык маанилери  барабарсыздыгын канааттандыргыдай  санын көрсөтүүгө мүмкүн болсо, анда А саны f(х) функциясынын х аргументи а га умтулгандагы предели деп аталат.

         Бул төмөндөгүчө жазылат:

         Бул аныктаманын мааниси төмөндөгүчө жөнөкөйлөтүп түшүндүрүүгө болот.

         Мисалы, бизге функциясы берилсин «а» сан огунун кандайдыр бир санын алабыз да,функциянын бир топ маанилерин өз ичине алгыдай кылып, А санынын айланасын түзөбүз, б. а. А-аралыгын түзөбүз. Эми ушул алынган  санына карата  барабарсыздыгы аткарылгандай  санын көрсөтүүгө мүмкүн болсо жана аргументтин, ошол  аралыгынан алынган ар кандай маанисине туура келүүчү функциянын мааниси  аралыгынын ичинде гана болсо, б. а.  барабарсыздыгын канааттандырса, анда А саны f(х) тин ха дагы предели болот.

         Жогоруда биз алган эки мисалдын экөөндө тең х кандайдыр мааниге умтулгандыгы функциянын предели, аргументтин ошол маанисиндеги функциянын чоңдугуна барабар болду. Бирок, дайым эле мындай боло бербейт.  х аргументи а га умтулганда f(х) функциясы белгилүү бир пределге ээ болсо да х – а чекитинде функция эч бир маанигн ээ болбой калган учурлар кездешет.

         Мисалы, f(x)= функциясы чекитинде эч бир мааниге ээ эмес, бирок х аргументи 1 ге умтулган кезде булл функция пределге ээ:

         

 

Ошондой эле   функциясы да чекити бир мааниге ээ эмес, бирок:

                    

ж. у. с. мисалдар көп.

 

         Эскертүү: Эгерде функция өзүнүн аргументине салыштырмалуу көп мүчө түрүндө болгон теңдеме менен берилсе, анда функциянын кандайдыр бир чекиттеги предели өзүнүн ошол чекитте боло тургандыгын далилдеп көрсөтүүгө болот. Башка негизиги элементардык функциялар да ушул эле касиетке ээ.

         Мисалы: 1) функциясын алалы, мында экендигин далилдейли.

 

         Далилдөө: радиусу 1ге барабар болгон айлана алып, алды менен  экендигин далилдеп көрсөтөбүз.  болсун дейли, анда 14-үнчү чиймеден төмөндөгүгө ээ болобуз. Sinx=BC болсо, анда деле

         Эгерде

Ошентип, ар кандай х үчүн

Демек:

         анткени биринчиден  экинчиден

    экендиги жогоруда далаилденди.

         Мына ошентип, эгшерде  санын  болгондой кылып алсак эле, анда  барабарсыздыгын канааттандыра турган ар кандай  саны үчүн жана  барабарсыздыгын канааттандыруучу х тин бардык маанилери үчүн  санын көрсөтүүгө болот  б. а.

2) Ошондой эле,

         Эгерде деп ала турган болсок,анда

§4. х нулга умтулгандагы  катышынын предели.

 

14-чиймеден:

радиан өлчөмүндөгү бурч болгондуктан: sinx

         х бурчу биринчи чейректе алынгандыктан   барабарсыздыктын бардык мүчөсүн sin x ке мүчөлөп бөлөбүз, анда

Булл барабарсыздыктын бардык мүчөсүн -1 ге көбөйтсөк:

                        

Барабарсыздыктардын эки жагына тең 1 кошобуз, анда:

                     

Бирок,

анткени, биринчиден;  экендиги §3 та далаилденди.

Ошентип, (1) ден: 0 бул барабарсыздык х төртүнчү

чейректе болгондо да  аткарылат, анткени жуп функциялар.ч кичирейип нулга жакындаганда  санынан да кичине болууга мүмкүн, демек  б. а. демек, функциянын пределинин аныктоосу боюнча

                      . . . . .(2)

         Мында  саны үчүн  сандарынын кичинесин алууга болот, анда  болгондо (2) аткарылат.

Көнүгүүлөр:

         Төмөнкү көнүгүүлөрдү аткарууда пределдер жөнүндөгү теоремаларды түздөн-түз колдонгула:

1.                                                             жообу : 2.

2.                                                           жообу:  1.

3.                                                                     жообу:  3.

4.                                                                жообу:

5.                                                      жообу:

6.                                                         жообу: 4.

7.                                                                     жообу: 2

8.                                                                      жообу:-1

9.                                                                   жообу: -

10.                                                                  жообу:

         Төмөнкү көнүгүүлөрдү аткарууда пределдер жөнүндөгү теоремаларды түздөн түз колдонууга болбойт, анткени, эгерде ал теоремаларды түздөн түз колдонсок, анда  түрүндөгү аныксыздыктар келип чыгат. Ошондуктан, алды менен берилген туюнтманы пределдер жөнүндөгү теоремаларды пайдаланган убакта жогоруда айтылгандай аныксыздыктар келип чыкпай тургандай кылып өзгөртүп түзүү керек.

         Мисалы: а)

         Эгерде пределдер жөнүндөгү теоремаларды түздөн түз колдлнсок, б. а. х тердин ордуна 3 тү койсок, анда  түрүндөгү аныксыздык келип чыгат, ошондуктан эң мурда деп болжолдоп, алымын да, бөлүмүн да кө кыскартып:

кө ээ болобуз.

                           б) 

в)

11.                                                       жообу: 10.

12.                                                   жообу:

13.                                                жообу:0.

14.                                                 жообу:

15.                                                  жообу: -

16.                                                  жообу : 27

17.                                                 жообу: 5

18.                                            жообу:

19.                                                 жообу:

20.                                           жообу:

21.                                                    жообу:

22.                                                  жообу: 3 а

23.                                               жообу: 1

24.                                          жообу:

25.                                                        жообу:

26.                                                        жообу:

 

                     § 5.  Функциянын үзгүлтүксүздүгү.

                   а)  Функциянын берилген чекиттеги үзгүлтүксүздүгү.

          Көп учурларда аргумент белгилүү бир а маанисине умтулгандагы функциянын пределин табуу үчүн функциянын пределин табуу үчүн функциянын ошол эле а точкасындагы маанисин эсептеп чыгаруу гана жетиштүү боло тургандыгын биз жогоруда көрдүк (1-инчиден 10-унчуга чейинки көнүгүүлөрдү карагыла).

         Мисалы, 1-инчи көнүгүү алалы;

                

                       

         6-ынчы көнүгүүнү алсак:

                     

            F(0)=

           ж. у. с. жалпысынан алганда  учуру өзгөчө мааниге ээ.

         Аныктама: Эгерде функциясы чекитинде аныкталган болуп, аргументи га умтулган кезде пределге ээ болсо жана ал предел функциянын а чекиттеги маанисине барабар  болсо, анда ал функция чекитинде үзгүлтүксүз деп аталат.

         Эгерде булл шарттар толук аткарылбаса, анда функция  чекитинде үзүлүп калган болот.

          

б) Функциянын берилген аралыктагы үзгүлтүксүздүгү.

          сызыгы  функциясынын геометриялык сүрөттөлүшү болсун дейли (15-инчи чийме). Бул ийри сызыктын чекиттеринин обсициссалары  аралыгында  аргументтин кандайдыр бир маанисин  кесиндисинин узундугунун  аркылуу белгилейбиз.

         Аргументтин бул маанисине функциянын да кандайдыр бир мааниси туура келет, ал эми геометриялык жактан алганда PQ кесиндиси менен сүрөттөлөт, б. а.

 

 

          Эми тин ушул алынган маанисине кандайдыр бир h өсүм берели, ал өсүм геометриялык жактан алганда  кесиндиси менен сүрөттөлөт. Анда аргументтин бул  жаңы маанисине функциянын да f(х+h) жаңы мааниси туура келет жана функциянын булл жаңы мааниси геометриялык жактан алганда  тин h өсүмүнө туура келүүчү функциянын өсүмү деп аталат да  символу менен белгиленип, «дельта» f(х), «дельта» у деп окулат. Аргументтин өсүмү h ты  «дельта»  менен белгилесек, анда

                        

         Мына ошентип,

         Эгерде чексиз кичирейсе, анда функциянын өсүмү  да чексиз кичирейе тургандыгы чиймеден көрүнүп турат. Ал эми пределде болсо нулга умтулганда  нулга умтулат, б. а.

         Аныктама: Эгерде функциясы  дан га чейинки аралыкта аргументтин ар бир чексиз кичине өсүмүнө функциянын да чексиз кичине өсүмү туура келгидей касиетке ээ болсо, демек функцияны геометриялык жактан сүрөттөй турган ийри сызыктын чекиттери берилген аралыкта биринин артынан экинчиси үзгүлтүксүз келишсе (15-инчи чиймедеги MN жаасын карагыла) анда ал функция дан чейинки аралыкта үзгүлтүксүз деп аталат.

         16-нчы чиймеде чекитинде үзүлүп калуучу  функциясынын графиги берилген, анткени аргументтин х=а маанисинде функциянын эч бир мааниси жок.

         17-инчи чиймеде, А(х, у) чекитинде үзүлүп калуучу функциясынын графиги берилген, анткени,  тин нулга умтулушу тин нулга умтулушун камсыз кылбайт.

 

         в) Функциянын бүткүл аныктоо областындагы  үзгүлтүксүздүгү

         Белгилүү чекитте функциянын үзгүлтүксүздүгүнүн аныктамасы берилди. Берилген аралыктын бардык чекитинде үзгүлтүксүз болгон функция ошол аралыкта үзгүлтүксүз боло тургандыгы да айтылды. Дал ушул эле сыяктуу: эгерде функциясы өзүнүн аныктоо областынын бардык чекиттеринде үзгүлтүксүз болсо, анда ал бүткүл аныктоо областында үзгүлтүксүз деп аталат.

         Алгебралык, көрсөткүчтүү, логарифмалык, тригонометриялык (синус, косинус) функциялар-бүткүл аныктоо областында үзгүлтүксүз функциялар болушат.

  

         Мисалдар. 1. функциясы х тин бардык чектүү маанилеринде үзгүлтүксүз экендигин көрсөткүлө.

         Чыгаруу. Аргументке өсүмүн беребиз, анда аргументтин жаңы мааниси  болот да ага туура келүүчү функциянын жаңы мааниси  келип чыгат.

         Функциянын өсүмүн табабыз:

         Аргументтин өсүмү нулга умтулган кездеги функциянын өсүмүнүн пределин табабыз.

        

функциясы х тин ар кандай маанисинде үзгүлтүксүз.

         2.   функциясы х=0 чекитинде үзгүлтүксүз боло албай тургандыгын көрсөткүлө.

         Чыгаруу:

Эгерде аргументтин өсүмү нулга умтулса анда  бөлчөгү да нулга умтулат, бирок бир гана х=0 чекиттеринде булл бөлчөк ге айланат. Мына ошентип,   аралыктарында гана үзгүлтүксүз, ал эми бул аралыктардын четки чекиттеринде болсо (атап айтканда х=- болгондо) функциянын мааниси чектүүдөн чексизге өтүп, өтө кескин түрдө өзгөрөт.

         3.  функциясы х тин ар кандай маанисинде үзгүлтүксүз экедигин көрсөткүлө. Адегенде бул функция чекитинде үзгүлтүксүз экендигин эске ала кетүү керек, анткени  (II глава §3 карагыла). Демек, эгер

Эмми х аргументине  өсүмүн беребиз, анда аргументтин  жаңы маанисине туура келүүчү функциянын жаңы мааниси y+ , болот.

         Функциянын өсүмүн табабыз:

         

 анткени, аргументтин ар кандай мааниси үчүн 

 

Аргументтин өсүмү нулга умтулганда функциянын өсүмүн пределин аныктайбыз, б. а.

        

ал эми  мына ошентип, у=sinx функциясы ар кандай х үчүн

 үзгүлтүксүз,

         Көнүгүү:

         1.  аралыгында үзгүлтүксүз экендигин көрсөткүлө.

         2. у=cosx  функциясы бардык х тер үчүн үзгүлтүксүз экендигин көрсөткүлө.

         3.  функциясы да бардык х тер үчүн үзгүлтүксүз экендигин көрсөткүлө.

         4.  функциясы болгон учурда үзгүлгүлтүктүү болуп кала тургандыгын көрсөткүлө.

         5.  функциясы  болгон кезде үзгүлтүктүү экендигин көрсөткүлө.

 

III ГЛАВА

ТУУНДУЛАР

                            § 1. Туунду жөнүндө түшүнүк

         Эгерде аргумент менен функциянын маанилеринин арасындагы өз ара өзгөрүш түрүндөгү математикалык формула аркылуу так туюнтулса, анда алардын өзгөрүү процессинин закону да берилген болот.

         Мисалы, боштукта нерсенин төмөн түшүү закону  формуласы аркылуу туюнтулат, мында S-төмөн түшүүчү нерсенин жолу (функция), t- түшүү убактысы (аргумент), g-түшүү процессине катышуучу турактуу чоңдук.

         Өзгөрүлмөлүү х жана у чоңдуктарынын арасындагы функциялык көз карандылыктын формуласы символунун түрдүү мааниснде түрдүүчө туюнтмаларды берет, мисалы:

; ж. у. с.

         Бирок, булл формулалар аркылуу туюнтулган закондор өз ара айырмаланышат, атап айтканда аргументтин бирдей эле өзгөрүшүндө бул функциялардын өзгөрүш ылдамдыктары ар түрдүүчө.

         Мисалы, эгерде жогоруда алынган функциялар үчүн х ке бирдей жана бир калыпта өсүүчү 1, 2, 3, 4,…. Маанилерди берсек, анда төмөнкү таблицага ээ болобуз.

 

х	у=2х
1         2         3         4	2        4        6        8	1,5        2      2,5         3	1        4        9        16	9       19       35       37	1      0,5      1/3      0,25

Бул таблицаны анализдеп көрүп төмөндөгүлөрдү айтууга болот:

1. Аргументтин бирдей эле өсүшүндө   функциясы бардыгынан жай өсөт.

         2. жана  функциялары бир калыпта өсүшөт, аргументтин бирдей өзгөрүшүнө функциянын да бирдей өзгөрүшү туура келет.

         3. Калган үч функциялардын ар бири бир калыпта өзгөрүшпөйт, аргументтин бирдей өзгөрүшүнө функциянын бирдей өзгөрүшү туура келбейт.

         Мына ошентип, аргументтин бир калыпта (бирдей ылдамдыкта) өзгөрүшүндө кээ бир функциялардын өзгөрүшүнүн ылдамдыгы турактуу, кээ бир функциялардын өзгөрүшүнүн ылдамдыгы өзгөрүлмөлүү боло тургандыгын көрдүк.

         Бирок, ылдамдык  жөнүндөгү түшүнүк барыдан мурда кыймылга байланыштуу болгондуктан биз кыймылдын ылдамдыгы деп эмнени түшүнө тургандыгыбызды карап көрөлү.

         Жөө киши бирдей ылдамдык менен 15 минутада 1 200 м жол жүрдү дейли, анда анын ылдамдыгы минутасына 80 м ден болот, б. а. анын бардык өткөн жолун ошол жолду басып өтүүгө кеткен убакытка бөлүп коебуз да чыккан тийиндини кыймылдын ылдамдыгы үчүн кабыл алабыз.Ылдамдыкты мындай аныктоо бир калыптагы кыймыл үчүн гана туура. Бирок турмушта өзгөрүлмөлүү кыймыл үчүн гана туура. Бирок турмушта өзгөрүлмөлүү кыймыл эң көп кездешет, өзгөрүлмөлүү кыймылда ылдамдык үзгүлтүксүз дайым өзгөрүп турат, ошондуктан мында ылдамдыкты убакыттын берилген моментинде (чекитинде) гана аныктоо керек. Мындай ылдамдыкты механикада «чыныгы» же «кирпик каккыча болгон» ылдамдык деп аташат.

         Бирок, убакыттын берилген моментиндеги  («чыныгы») ылдамдыкты түздөн түз табууга мүмкүн эмес, аны табу үчүн адегенде убакыттын ошол моментине жакын кандайдыр бир аралыгы ичиндеги орточо ылдамдыкты табабыз да убакыттын аралыгы нулга умтулган кездеги орточо ылдамдыктын пределин табабыз.

         Мисалы, өзүнүн кыймылында поезд убакыттын  t моментинен  моментине чейин  аралыгын өттү дейли, анда убакыттын ошол аралыгындагы поезддин орточо ылдамдыгы   болот. Убакыттын (аргументтин) өсүмүн  менен, ага туура келүүчү жолдун (функциянын) өсүмүн  менен белгилеп, орточо ылдамдык га барабар экендигине ээ болобуз.

         Убакыттын кийинки  моментин баштапкы t моментине канчалык жакын кылып алсак (18-инчи чийме), б. а.  ны канчалык кичине кылып алса  орточо ылдамдыгы t моменттеги чыныгы ылдамдыкка ошончолук жакын болот. Эң акырында, убакыттын  аралыгы чексиз кичине болгондо орточо ылдамдык t моментиндеги чыныгы ылдамдыкка барабар болуп калат.

 

           Мына ошентип, өгөрүлмөлүү кыймылдын t моменттеги чыныгы ылдамдыгы убакыттын  аралыгындагы орточо ылдамдыктын нулга умтулган кездеги пределине барабар. t моменттеги чыныгы ылдамдыкты «V» аркылуу белгилеп, биз  га ээ болобуз.

         Кыймылдагы нерсенин өткөн жолу убакыт өзгөргөн сайын өзгөрөт, б. а. жогорку формулада S функцияны t аргумент болуп эсептелет, демек:

         аргументтин өсүмү нулга умтулган кездеги функциянын өсүмүнүн аргументтин өсүмүнө болгон катышынын предели өзгөрүлмөлүү кыймылдын берилген убакыт моментиндеги ылдамдыгы деп аталат.

         Функциянын өзгөрүшүнүн ылдамдыгына берилген мындай аныктам математикада бардык башка функциялар үчүн да колдолнулат.Жалпысынан: х аргументинин берилген маанисиндеги функциясынын өзгөрүшүнүн ылдамдыгы деп  пределин атайбыз. Ар түрдүү тектеги функциялардын өзгөрүшүнүн ылдамдыктарын аныктоо, өзгөрүү закону дал ошол фукциялар аркылуу туюнтулган чындык дүйнөнүн окуп үйрөнүүдөн эң чоң роль ойнойт.

         Ошондуктан,  туюнтмасы математикадагы айрыкча чексиз кичине чоңдуктардын анализиндеги (матанализиндеги) негизги түшүнүктөрдүн бири болуп эсептелет.

 туюнтмасы математикадагы у функциясынын х аргументи боюнча болгон туундусу деп аталат жана ал төмөнкү символдордун бири аркылуу белгиленет.

                  у;   же

         Булар: игрек прим; же деигрек деикс боюнча; же эфепримикс, же дэификс деикс боюнча делинип окулат.у=f(х) функциясынын өсүмү

 

б. а. функциянын чексиз кичине өсүмүнүн кичине өсүмүнүн аргументтин чексиз кичине өсүмүнө болгон катышынын  нулга умтулгандагы предели функциянын туундусу деп аталат жана ал функциянын өзгөрүшүнүн ылдамдыгын сүрөттөйт.

 

                     § 2. Кээ бир функциялардын туундулары

          1. у=f(х)=кх+b сызыктуу функциясын алалы, х аргументие өсүмүн берели, анда функциянын өсүмү: функциясынын туундусу:

 

         Мына ошентип, сызыктуу функциянын туундусу аргументтин коэфицентинде, б. а. турактуу санга барабар. Демек, х аргументинин өзгөрүшүндөгү функциянын өзгөрүшүнүн ылдамдыгы турактуу чоңдук (буга 19-унчу чиймеден да ишенүүгө болот, аргументтин бир калыптагы өсүшүнө функциянын да бир калыптагы өсүшү туура келет).

         2.  функцисын алалы.

         Аргументтин өсүмүн бергенде функциянын ээ боло ала турган өсүмү:

Функциянын туундусу:

 

         Демек,  функциясынын өзгөрүшүнүн ылдамдыгы турактуу эмес өзгөрүлмөлүүке барабар, б. а. мында аргументтин бир калыптагы өзгөрүшү туура келбейт (20-нчы чиймени карагыла). Мисалы, аргумент 0дон 1ге чейин өзгөргөндө функция да 0дөн 1ге чейин өзгөрөт; аргумент ден ге чейин өзгөргөндө функция кө чейин өзгөрөт;аргумент ден 3 кө чейин өзгөргөндө функция төн га чейин өзгөрөт.

         3. турактуу функциясын алалы. Аргументтин бардык маанилери үчүн функция бир гана мааниге ээ (21-инчи чиймени карагыла),

 

 демек,  Ошентип, турактуу чоңдуктун туундусу нулга барабар.

         4. Боштуктан нерсенин төмөн түшүү закону

 

Демек, боштукта нерсенин төмөн түшүү кыймылынын ылдамдыгы.

                                       

         5.  бир калыптагы өзгөрүлмө кыймылдын ылдамдыгы, мында а- ылдамдануу

                                              

          Бул учурда  деген v нын t боюнча болгон туундусу. Демек, ылдамдыктын өзгөрүшүнүн ылдамдыгы ылдамданууну берет.

         6.

 

Ошентип,

         7.  функциясын алалы.

         Х аргументинин  өсүмүнө туура келүүчү функциянын өсүмү:

         Функциянын предели;

 

 

Ошентип,

 

 

 

 

§ 3. Туундунун геометриялык мааниси

          Функцияны изилдөөдө окуучуларды туундунун геометриялык мааниси менен тааныштыруу керек. Эң мурда окуучулардын түз сызыгы жана анын бурчтук коэффиценти жөнүндөгү түшүнүктөрүн бир системага келтирп алуу керек.

         теңдемесиндеги к коэффиценти түз сызыктын абцисса огунун оң багыты менен түзгөн бурчту мүнөздөп жана ошондуктан бурчтук коэффициент деп атала тургандыгын окуучулар алгебра курсунан билишет. Ал гана эмес, окуучулар бурчтук коэффициент түз сызык менен обцисса огунун оң багытынын арасындагы бурчтун тангенсине барабар экендигин да билишет. Мына ушул түз негизинде окуучуларга ийри сызыктын жанымасынын бурчтук коэффициенти жөнүндөгү түшүнүк берилет.

         Адегенде жаныманын аныктамасын берүү керек? Ушул убакытка чейин окуучулар айлананын жанымасынын аныктамасын (айлана менен бир гана жалпы чекити бар түз сызык айланага ошол точкада жүргүзүлгөн жаныма деп аталат) гана билишүүчү. Бирок, жаныманын мындай аныктамасы айландан башка бир катар ийри сызыктар үчүн туура келбейт, мисалы,  параболасынын графигин (22-инчи чийме) окуучулар билишет. Мында оу огу парабола менен бир гана жалпы чекитке ээ (ал чекит координаттар башталышы), бирок ал жаныма боло албайт.

Тескерисинче кээде ийри сызыктардын белгилүү бир чекити аркылуу жүргүзүлгөн жаныма ошол эле ийри сызыкты башка чекиттер аркылуу кесип өтөт, булл сыяктыы ийри сызыктар көп.

         Ошондуктан окуучуларды  жаныманын жалпы аныктоосу менен тааныштыруу керек.

  

           ийри сызыгы үзгүлтүксүз функциянын графиги болсун дейли.

         Графиктьин кандайдыр бир  чекитин алалы. Аргументке  өсүм берсек, анда функция да  өсүмүнө ээ болот (23-чийме).

 

         Функциянын өсүмүнүн аргументтин өсүмүнө болгон катышы РQK үч бурчтугунан: кесүүчүнүн ох огу менен түзгөн бурчунун тангенсине барабар.

         Эгерде  чексиз кичирейип отуруп нулга умтулса, анда Q чекити ийри сызык боюнча жылып отуруп Р чекитине чексиз жакындайт, булл учурда:

         1) РQ кесүүчү Р чекитинин айланасында айлананын отуруп өзүнүн белгилүү бир пределдик авалына (PS) айланат, мына ошол кесүүчүнүн пределдик абалы Р чекити аркылуу жүргүзүлгөн жаныма деп аталат.

         2) Кесүүчүнүн ох огу менен түзгөн бурчу ( кичирейип отуруп, жаныма менен ох огунун арасындагы бурчка  айланат.

         3)  катышы болсо функциясынын туундусу деп аталуучу өзүнүн пределине умтулат.

         Ошентип,

         Ал эми ар кандай түз сызыктын (ошонун ичинде PS жанымасынын да) ох огунун оң багыты менен түзгөн бурчунун тангенси ошол түз сызыктын бурчтук коэффиценти деп аталат. Демек, функциясынын х аргументи боюнча болгон туундусу геометриялык мааниде алганда ийри сызыгына (х, у) чекити аркылуу жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффицентин түшүндүрөт. Булл алынган түшүнүктөр маселелер иштетүү жолу менен бекмделиш керек.

         1.  ийри сызыгына абциссасы болгон А чекит аркылуу жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффицентин аныктагыла.

         Бул маселени чыгаруу эки баскычтан турат:

         1. Функциянын туундусун табу:

 

         2. Жаныманын бурчтук коэффицентин аныктоо:

 туундусундагы х тин ордуна 0,2 абциссасын коебуз да жаныманын бурчтук коэффиценти К жаныма =  экедигин табабыз.

         2.  ийри сызыгына абциссасы  болгон чекит аркылуу жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффицентин тапкыла.

                Жообу: К жаныма =2.

         3.  ийри сызыгынын абциссасы  болгон чекит аркылуу жүргүзүлгөн жаныманын бурчтуккоэффицентин тапкыла.

                Жообу: К жаныма =0

         4.  ийри сызыгына абциссасы  болгон чекит аркылуу жүргүзүлгөн жаныманын бүрчтүк коэффицентин тапкыла.

              Жообу: К жаныма =3.

         Окуучуларды жаныманын теңдемеси менен да тааныштыра кетүү зарыл. түз сызыгында в ушул түз сызыктын оу огунан кесип өткөн кесиндиси экендиги окуучуларга белгилүү. Эгерде кандайдыр бир А  чектити түз сызыкта жатса, анда анын координаттары ошол түз сызыктын теңдемесин толук канааттандырышат, б. а. в барабардыгы түз сызык А чекити аркылуу өтөт дегенди түшүндүрөт. Ушул барабардыктан в кесиндисин табабыз.

                                  

в нын маанисин түз сызыктын теңдемесине коюп:

                                    

Мына ушул өзү бурчтук коэффициенти К болгон жана А чекити аркылуу өтүүчү жаныманын теңдемеси болуп эсептелет.

         Ал эми ийри сызыгына А  чекиттеги туундусуна барабар, б. а.  болгондуктан жаныманын теңдемеси .

                                                            (1) болот.

         Мисалдар:

         1.   ийри сызыгына А  чекити аркылуу жүргүзүлгөн жаныманын теңдемесин тапкыла.

Бул маселени чыгаруу да эки баскычтан турат:

         1) Функциянын обциссасы х=3 болгон чекиттеги туундусун, б. а. жаныманын бурчтук коэффицентин табабыз:

         2) (1) формула боюнча жаныманын теңдемесин табабыз.

,  мындан

                       

         2)   ийри сызыгына А чекити аркылуу жүргүзүлгөн с жаныманын теңдемесин тапкыла.

                     Жообу: ;

         3)  ийри сызыгына    чекити аркылуу жүргүзүлгөн жаныманын теңдемесин тапкыла.

                      Жообу:

         4.  ийри сызыгына чекити аркылуу жүргүзүлгөн жаныманын теңдемесин тапкыла.

                      Жообу:

 

               § 4. Туунду жөнүндөгү түшүнүктүн илимдин ар түрдүү тармактарында колдонулушу

         Туунду жөнүндөгү түшүнүк жалаң гана геометрияда (жаныманын бурчтук коэффициенти) же механикада (берилген моменттеги өзгөрүлмөлүү кыймылдын ылдамдыгы) эле эмес, илимдин башка тармактарында да кеңири колдонулат.

         Мисалы:   Нерсени баштапкы  температурадан  температурага чейин ысытуу үчүн нерсеге жумшалган жылуулуктун саны  температурадан функция болот, б. а. ;  катышы температуранын өсүмүнүн бирдигине туура келүүчү жылуулуктун санынын орточо өсүмү б. а. нерсени температурадан  температурага чейин ысытуудагы нерсенин орточо жылуулук сыйымдуулугу болот. Ал эми  болсо берилген

температырадагы  нерсенин жылуулук сыйымдуулугун аныктайт.

         2. Эгерде m-түз сызыктуу стержендин бөлүгүнүн массасы, l ден функция болот, б. а.     

 катышы стержендин  узундугундагы орточо тыгыздыгы болот, ал эми  

болсо стержендин берилген бөлүгүнүн эң акыркы чекитиндеги тыгыздыкты аныктайт.

         3. Убакыттын t моментинде химиялык реакцияга кирген заттын саны М болсо, анда М чоңдугу t дан функция болот, б. а. катышы химиялык реакциянын  убакыт ичиндеги орточо ылдамдыгын берет, ал эми  болсо убакыттын t моментиндеги химиялык реакциянын ылдамдыгын аныктайт.

         4. Өткөргүчтүн туура кесилиши аркылуу t убакыт ичиндеги агып өтүүчү электр санын (кулон бирдигинде) Q аркылуу белгилесек, анда Q чоңдугу t дан функция болот, б. а.

         Мында  булл убакыттын t моментиндеги өзгөрүлмөлүү токтун күчү деп аталат.

         5. Эгерде суюуктуктун көлөмүн V, ага тыштан таасир этүүчү басымды Р аркылуу белгилесек, анда V чоңдугу Р дан функция болот, б. а.  - берилген басым кезиндеги суюктуктун кысылуу коэффиценти деп аталат.

 

§ 5. Функциялардын алгебралык суммасынын,

көбөйтүндүсүнүн жана даражасынын туундулары.

 

         1. Бир нече функциялардын алгебралык суммасын алалы болсун дейли, мында демек , б. а. z,v,u лардын ар бири жана алардын алгебралык суммасы у да х тен функция.

         Анда  же кыскача , мындан

                  Демек, бир нече функциялардын алгебралык суммасынын туундусу ошол функциялардын ар биринин туундуларынын алгебралык суммасына барабар.

         Бул эрежени чыгарууда окуучуларды активдүү катыштыруу керек.

         Мисалы, эгерде   болсо анда ; мунун тууралыгын  , лердин ар бирин өзүнчө эсептеп чыгып да текшерүүгө болот.

         I I.  болсун дейли, мында демек

         Аргументке кандайдыр бир  өсүм беребиз, анда аргументтин жаңы х+ маанисине у, u, v, функцияларынын да жаңы  маанилери туура келет, мындан

                            

__________________________________________________________________________________

         Албетте каралып жаткан функциялардын ар биринин туундусу бар делинип болжолдонот.

_______________________________________________________________________________________________________

            Бул барабардыктын эки  бөлүгүнүн тең мүчөлөп  ке бөлүп: , демек,

Ал эми  анткени v менен u лар тен көз

 каранды эмес, демек бул учурда турактуу чоңдук катарында пределдин белгисинин алдына

 чыгарылат (I гл. § 5 ти карагыла).

         , анткени v чоңдугу х тен үзгүлтүксүз функция (1 гл. § 5 ти

 жана I I  гл. § 5 (б) карагыла).

         , ошондуктан

….                  (2)

   б. а. эки  функциянын көбөйтүндүсүнүн туундусу биринчисинин туундусу биринчисинин туундусу көбөйтүлгөн экинчиси жана экинчисинин туундусун биринчисине көбөйткөндөгү көбөйтүндүлөрдүн суммасына барабар.

         Мисалдар: 1) функциясынын туундусун табуу керек.

         2) Формула боюнча    кө болгондуктан:

                      

         

        Натыйжада: Эгерде көбөйтүлүп жаткан функциялардын бири турактуу болсо, анда анын туундусу нулга барабар болгондуктан (I I I  гл. § 2 карагыла),

                

Ошентип, , б. а. турактуу санды туундунун белгисинин алдына чыгарууга болот,

         2) Бизге  үч функциясынын көбөйтүндүсүнүн туундусун табуу талап кылынсын, б. а. (uvt)  ди бир көбөйтүүчү деп алып, эки функциянын көбөйтүндүсүнүн туундусун табу формуласы боюнча: экендигине  ээ болобуз. Эми  болгондуктан

демек берилген үч функциянын көбөйтүндүсүнүн туундусу алардын ар биринин туундусун калган экөөнөт көбөйткөндөгү көбөйтүндүлөрдүн суммасына барабар. Мындан төмөнкүдөй натыйжа келип чыгат.

         Бул натыйжаны чыгарууну окуучулардын өздөрүнүн талап кылуу эң пайдалуу.

         Натыйжа: Бир канча сандагы функциялардын көбөйтүндүсүнүн туундусу алардын ар биринин туундусун калгандарына көбөйткөндөн чыккан көбөйтүндүлөрдүн суммасына барабар.

         Мисалы, эгерде      болсо анда

 

болор эле. Бул учурда:

               

б. а. даражанын туундусу даражанын көрсөткүчүн, көрсөтүүчү бирге кем болгон ошол эле даражага көбөйткөндөгү көбөйтүндүгө барабар.

         Мисалы,   болсо анда (5) формула боюнча

                         

§ 6. Көп мүчөнүн туундусу

          Ушул главанын § 2 да формула түрүндө берилген функциялардын туундуларын табу үчүн алды менен х аргументие  өсүмүн берип, андан кийин аргументтин ошол   өсүмүнө туура келүүчү функциянын  өсүмүн эсептеп, эң акыркы  пределинин маанисин  аныктап жаттык. Бирок функция көп мүчө түрүндө берилсе, анда анын туундусун табу үчүн дайым эле ушул айтылган жлду колдонуу мүмкүн эмес.

         Мисалы, эгерде бизге  функциясы берилсин, бул учурда аргументтин өсүмүнө туура келүүчү функциянын  өсүмүн эсептеп жазып чыгуунун өзү эле бир кыйла ыңгайсыз иш.

         Дал мына ушундай учурда функциянын туундусун табуу үчүн жогоруда келтирилген (1), (4), (5) формулаларды жана аларга туура келүүчү эрежелерди пайдалануу керек.

Ал учурда:  

Мисалы:

        

         Бул сыяктуу бир катар мисалдарды иштеп окуучулар көнүккөндөн кийин көп мүчө түрүндө берилген функциянын туундусун табуну кыскартылган жол менен төмөндөгүчө эле аткарууга болот:

1.

2.  функциясынын туундусун табуу үчүн

         ;

3. Ошондой эле

4.

экендигине ээ болобуз.

z окуучулардын өз алдынча иштөөлөрү үчүн көнүгүү:

         1.                                         жообу: ;

         2. ;                                      жообу: ;

         3. ;                                      жообу: ;

         4. ;                                        жообу: ;

         5. ;                                      жообу: ;

         6. ;                                  жообу: ;

         7. ;                            жообу:

        

          § 7. sin mx жана cоs mx функцияларынын туундулары

          Ар түрдүү кыймылдардын ичинен термелүүчү кыймыл (нерсе өзүнүн кыймылында тең салмактык абалына белгилүү мезгил сайын келип тура турган кыймыл) физикада жана техникада эң чоң роль ойнойт, анткени термелүүчү кыймыл техникада биздин күндөлүк турмушубузда эң эле көп кездешет.

         Гармоникалык кыймыл  деп аталуучу жөнөкөй термелүүчү кыймылдын закону

                                   

формуласы менен туюнтулат, мында S-термелүүчү чекиттин баштапкы авалга салыштырмалуу кыйшайышы, Т-термелүү мезгили (турактуу чоңдук) t-убакыт, а-термелүүнүн амплитудасы.

         Ошондуктан булл кыймылды үйрөнүү үчүн sinmx, cosmx түрүндөгү тригонометриялык функциялардын туундуларын табуну үйрөнүү зарыл.

         1. функцияларынын туундусун табу. Х аргументтин

өсүмүн берсек, анда у функциясы   өсүмүнө ээ болот.

         Функциянын туундусу:

                 (II гл. § 4 карагыла).

         Ошентип, ; ал эми cosx  функциясы үзгүлтүксүз болгондуктан

                      

Демек                       

 

         Маселе. Пружинага асылып коюлган жүк төмөн карай h бийиктигинчелик чоюулуп кое берилген. Сүрүлүү күчүн эсепке албаганда, тең салмактык авалынан жүктүн кыйшайышы  формуласы менен туюнтулат.

Жүктүн термелүү кыймылынын ылдамдыгынын жалпы формуласынын жана анын тең салмактык авалынын тушунан өткөн моменттеги ылдамдыгын тапкыла.

1.     Ылдамдык ;

               ;

2) Тең салмактык авалынын тушунда t=0 болгондуктан

Демек ал моменттеги ылдамдык  га. (булл эң чоң ылдмадык).

         2. функциясынын туундусун табу. Х аргументине өсүмүн бергенде у функциясы  өсүмүнө ээ болот. Функциянын туундусу

                                =

         =

 

анткени экинчи көбөйтүүчүнүн предели 1 ге барабар, ал эми sin[ функциясы үзгүлтүксүз болгондуктан  

       демек: 
        

         Маселе. Жогоруда келтирилген маселедеги кыймылдын ылдамдануусунун формуласын тапкыла.

         Кыймылдын ылдамдануусу (I I I гл. § 2 (5) мисалды карагыла) болгондуктан (7) формуласы

                       боюнча = -  

 

IV ГЛАВА

 

          Функциянын өзгөрүлүш закондорун окуп үйрөнүүдө туунду жөнүндөгү түшүнүктү колдонуу.

         ФУНКЦИЯНЫН МАКСИМУМУ ЖАНА МИНИМУМУ

         § 1. Функциянын өсүшү жана кемиши

      Функциянын өсүшү жана кемиши жөнүндөгү эң жөнөкөй түшүнүк жогоруда (II главанын § 2) берилип кетти. Азыр биз функциянын өсүшүн жана кемишин анын туундусуна байланыштуу төмөндөгүчө түшүнмөкчүбүз.

         ийри сызыгы (24-үнчү чийме) функциясынын графиги болсун дейли. Бул ийри сызыктын АВ жаасынын өйдө карай көтөрүлүшү аргументтин А дан В га чейинки өсүшүндө функция да өсүп жаткандыгын геометриялык жактан сүрөттөп көрсөтүп турат.

 

          Демек, дан га чейинки  аралыкта алынган функция өсүүчү функция болду. Экинчи жактан графиктин жаасынын ар кандай чекити аркылуу жүргүзүлүүчү жаныманаын ох огунун оң багыты менен түзгөн бурчу  тар бурч болгондуктан , анткени,

(III гл. § 3 карагыла), Мындан төмөндөгүдөй жыйынтык чыгарууга болот.

         Аныктама: Эгерде функция аргументтин берилген маансисинде өсүүчү

болсо, анда анын ошол чекиттеги туундусу оң болот, жана тескрисинче, эгерде аргументтин кандайдыр бир маанисинде функциянын туундусу оң болсо, анда дал ошол чекитке функция өсүүчү болот.

         Графиктин жаасынынын төмөн карай тушүшү аргументтин с дан d га чейин өсүшүндө функция кемип жаткандыгын көрсөтөт, демек с дан d га чейинки с аралыкта алынган функция кемүүчү функция болду.

         Экинчи жактан жаасынын ар кандай К чекити аркылуу жүргүзүлүүчү жаныманын абцисса огунун оң  багыты менен түзгөн бурчу - кең бурч болгондуктан , б. а.

         Демек: Эгерде функция аргументтин берилген маансинде кемүүчү болсо, анда анын ошол чекиттеги туундусу терс болот, жана тескерисинче, эгерде аргументтин кандайдыр бир маансинде функциянын туундусу терс белгиде болсо, анда ал ошол чекитте функция кемүүчү болот.

 

 § 2. Функциянын өсүшүн жана кемишин  изилдөөгө мисалдар

        1.  функциясынын кайсы аралыкта өсө тургандыгын жана кайсы аралыкта кемий тургандыгын аныктоо үчүн адегенде анын туундусун табабыз да андан кийин аргументтин түрдүү маанилери үчүн ошол туундунун белгисин аныктайбыз.

                                   

                           демек функция өсүүчү болот,

                            демек функция кемүүчү болот.

         2.               функциясынын туундусу:

                

         Аргументтин , демек функция кемүүчү болот. Аргументтин аралыгынын бардык тышкы чекиттеринде , демек функция өсүүчү болот.

         3.       функциясынын туундусу.

         Аргументтин  маанилеринде жана , демек функция өсүүчү болот.

Аргументтин калган , демек функция кемүүчү болот.

         

 § 3. Функциянын максимуму жана минимуму.

        Аныктама. Эгерде функциянын аныктоо областынын ичинен го барабар болгон бардык х тер үчүн  шартын канааттандыра турган  чекитинин эң кичине  айланасын көрсөтүүгө мүмкүн болсо, анда у=f(х) функциясы  чекитинде максимумга ээ болот. Б. а.  чекитинде функция максимумга ээ болуш үчүн анын ошол чекиттеги  аралыгындагы башка маанилеринен чоң болуш керек.

         Аныктама. Эгерде фукциянын аныктоо областынын ичинен го барабар болгон бардык х тер үчүн  шартын канааттандыра турган  чекитинин эң кичине  айланасын көрсөтүүгө мүмкүн болсо, анда y=f(x); функциясы   чекитинде минимумга ээ болот.

         Б. а. функция - чекитинде минимумга ээ болсун үчүн,  аралыгында башка бардык маанилеринен кичине  болуш керек.

         Функциянын максимум жана минимум маанилери туунду аркылуу табылат.

         Мисалы, функциясынын чекитинде (25-инчи  чийме) максимуму бар дейли, анда адегенде ал чекиткенче жеткенче фнкция өсүп андан кийин кемийт, б. а. функциянын  чекитине чейинки туундулары оң, чекитинен кийинки туундулары терс болот, демек, функциянын туундусу сөзсүз нуль аркылуу өтүү керек, ошондуктан , б. а. болгондогу графиктин чекити аркылуу жүргүзүлгөн жаныма 0х огуна параллель дегндикти көрсөтөт).

         Дал ушул эле сыяктуу, эгерде функциясынын чекитине минимуму бар деп болжоолдосок, анда функция адегенде чекитине жеткенче кемип андан кийин өсөт, б. а. функциянын чекитине чейинки туундулары терс чекитинен кийинки туундулары оң болот, демек функциянын туундусу сөзсүз нуль  аркылуу өтүү керек, ошондуктан (бул , б. а. болгондогу графиктин графиктин чекити аркылуу жүргүзүлгөн жаныма ох огуна параллель дегендикти көрсөтөт). Бул чиймеде ачык көрсөтүлгөн. Функциянын белгилүү бир чекити максимуму анын өзгөрүү областындагы мүмкүн болгон бардык маанилеринен чоң болуусу милдеттүү эмес. Функциянын чекиттеги максимуму ошол чекиттин эң кичине айланасындагы чекиттер үчүн гана башка маанилерден чоң. Дал ушул эле сыяктуу функциянын берилген чекиттеги минимуму анын өзгөрүү областындагы мүмкүн болгон бардык маанилеринен кичине болуусу милдеттүү эмес.

         Анткени функциянын чекиттеги минимуму анын чекиттеги максимумунан да чоң экендиги чиймеде көрсөтүлгөн.

          Демек, функциянын максимум жана минимум маанилери өздөрүнө коңшулаш болгон гана функцияны башка маанилерине салыштырмалуу аныкталат.

         Бирок, аргументтин маанилеринин кандайдыр бир аралыгында функциянын бир гана максимуму (26-ынчы чиймени карагыла) же бир гана минимуму (27-инчи чиймени карагыла) болсо,  анда ал максимум ошол аралыктагы функциянын

 

  эң чоң мааниси болот; же ал минимум ошол аралыктагы функциянын эң кичине мааниси болот.

         Функциянын максимум жана минимум чекиттеринде туунду нулга барабар экендиги жогоруда айтылды , бирок мындан жалпы жыйынтык чыгарууга болбойт, б. а. эгерде кандайдыр бир чекитте функциянын туундусу нулга барабар болсо, анда ал чекитте функциянын максимуму же минимуму да болбой калышы мүмкүн. Булл кийинчерээк мисалдарда ачык көрсөтүлөт.

 

       Мына ошентип, биз функциянын максимумун жана минимумун табуунун төмөнкү эрежесине ээ болобуз:

1)     Берилген функциянын туундусун табу керек.

2)     Табылган туундуну нулга барабарлоо керек.

3)     Келип чыккан теңдеменин тамырлары функция максимум же

Минимум маанилерине ээ боло турган аргументтин маанилери болуп калу мүмкүн.

4)     Муну аныктоо үчүн аргументке анын табылган маанисинен бир аз кичине жана бир аз чоң болгон түрдүү мани берип көрөбүз мына ушул учурда:

а) Эгерде туундунун белгиси ондон терске өзгөрсө, анда аргументтин табылган маанисинде функциянын максимуму болгон болот (27 а – чиймени карагыла).

б) Эгерде туундунун белгиси терстен оңго өзгөрсө, анда аргументтин ошол табылган мааниснде функция минимумга ээ болгон болот, (26 б-чиймени карагыла), функциянын максимуму жана минимуму жалпысынан функциянын экстремиму деп аталат.

 

         § 4. Функциянын экстремум маанилерин табууга карата мисалдар.

                  № 1.

функциясынын экстремумдарын тапкыла.

 Чыгаруу  1) Берилген функциянын туундусун табабыз.

                  

         2) Туундунун булл маанисин нулга барабарлайбыз:

                  

Же            

3)     Келип чыккан теңдеменин тамырларын табабыз:

                  

4) Бул тамырлардын бирөөндө, мисалы,  чекитине функция максимумга же минимумга ээ экендигин билүү үчүн 3 санын өз ичине алган мисалы (2;4) кесиндисин четки чекитин де туундунун белгилерин карап  көрөбүз:

                

Ал эми х=3 түн өзүндө           

Демек, аргументтин  кө чейинки 3 санынын эң кичине аралыгында туундунун белгиси терстен оңго өзгөргөндүктөн эң кичине аралыгында туундунун белгиси терстен оңго өзгөргөндүктөн х=3 чекитинде у=f(x) функциясы минимумга ээ.

 

 

 

        4)     Эми тамырлардын экинчисин   ди текшерип көрөбүз. (-1) санынын кандайдыр бир (-2, 0) айланасын алып, анын четки чекиттериндеги туундунун белгилерин карап көрөлү.

         Демек, аргументтин  го чейинки -1 санынын эң кичине аралыгында туундунун белгиси оңдон терске өзгөргөндүктөн х=-1 чекитине у=f(х) функциясы максимумга ээ.

         Ошентип, берилген  функциясынын максимуму

         ;

        Минимуму

        

         № 2. , функциясынын экстремумдарын тапкыла.

         Чыгаруу. Функциянын туундусун табабыз.

        

         Туундуну нулга барабарлап:  тамырларына ээ болобуз. Бул  эки чекит аркылуу бүткүл сан огу төмөнкүдөй аралыкка бөлүнөт:

        

         Аргументтин болгон маанилеринде  б. а. . ,

Аргументтин  болгон маанилеринде  туундусунун белгиси оң, мисалы

Аргументтин  туундусунун белгиси терс, мисалы

         ,

же    

         Ал эми аргументтин  болгон маанилеринде болсо  тин белгиси кайрадан оң, мисс алы,

        

же       

         Изилдөөнүн бул натыйжасын төмөнкү таблицага жазууга болот: 

Аргументтин  өзгөрүшү
Туундунун  белгиси …
Функциянын  өзгөрүшү ..	өсөт	Максимумга  ээ	Кемийт.	Миним. ээ	өсөт

         Ошентип,

        

№; 3.               функциясы берилди

         Анын туундусу: .

         Муну нулга барабарлап:  мындан  тамырларына ээ болобуз. Бул чекиттери аркылуу бүткүл сан огу төмөнкүдөй үч аралыкка бөлүнөт:

         Албетте, аргументтин х=0 жана х=5 маанилеринде  жана  

         Аргументтин  маанилеринде туундунун белгиси оң, мисалы

         Аргументтин  маанилеринде туундунун белгиси терс, мисалы,

         Ал эми аргументтин  болгон маанилеринде болсо туундунун белгисикайрадан оң. Булл натыйжаны таблица түрүндө жазсак:

Аргументтин өзгөрүшү ..
Туундунун белгиси….
Функциянын өзгөрүшү…	Өсөт	Максимумга ээ.	Кемийт	Миним. ээ.	Өсөт

 

№ 4. экстремумдарын тапкыла.

Чыгаруу. Функциянын туундусу: Туундуну нулга барабарлап: cosx=0

 мындан

1)     k жуп сан.

х аргументин     болгон маанилеринин эң кичине айланаларында cosx  функциясы өзүнүн оң маанисинен терс маанисине өтөт. Буга cosx функциясынын графигин (28-инчи чийме) карап көрүп да ишенүүгө болот.

 

          Мына ошентип, аргументтин  болгон маанилеринде берилген функциясынын туундусу cosx тин белгиси ондон терске өзгөрөт, демек аргументтин  маанилеринде берилген функция максимумдарга ээ болот.

         2) аргументинин  маанилеринин эң кичине айланаларында cosx функциясы өзүнүн терс маанисинен оң мааниге өтөт (28-чиймени карагыла). Демек аргументтин  маанилеринде берилген функция минимумдарга ээ болот.

 

           болгон учурда.

Берилген функциясынын мындай өзгөрүшүн анын графигинен да көрүүгө болот (29-унчу чийме).

         № 5.  функциясынын экстремумдарын тапкыла.

                       

 болгондуктан:

        

же  ,  мында к – ар кандай бүтүн сан.

1)     к – ар кандай бүтүн сан болсун. Аргументтин  маанилеринин эң кичине айланаларында sinx функциясы өзүнүн терс маанисинен оң маанисине өзгөрө тургандыгы 29-унчу чиймеде көрүнүп турат. Демек, булл учурда берилген функция минимумдарга ээ болот. Бирок, биздин мисалыбызда аргумент х эмес, ал  болгондуктан берилген функция аргуменгттин , мындан  маанилеринде минимумдарга ээ болот- деген корутунду чыгара алабыз.

2)     Аргументтин  маанилеринин эң кичине айланаларында Sinx функциясы өзүнүн оң маанисинен терс маанисине өзгөрө тургандыгы 29-унчу чиймеде көрүнүп турат. Демек, берилген функция аргументтин  маанилеринде максимумдарга ээ болот.

Ошентип, к=0 болгон учурда берилген фукциянын максимуму

 Окуучулардын өз алдынча иштөөлөрү үчүн көнүгүүлөр.

1.                                  жообу:  болгондо минимумга           

                                                                          ээ.      

2.                     жообу: болгондо  максимумгаээ.

                                                                         

                                                                          болгондо минимумга ээ.

3.                          жообу: болгондо максимумга,

                                                                         болгондо минимумга ээ.

4.                        жообу: богондо минимумга ээ,

                                                                         болгондо максимумга ээ.

5.                                   жообу: болгондо минимумга ээ.

6.                              жообу: болгондо масимумга,

                                                                         богондо минимумга ээ.

7.                                  жообу: болгон кезде 

                                                           болгондо максимумга   максимумга ээ.

                                                        

                                                                         

8.                                    функциясы өзүнүн бүткүл  

                                                  аныктоо областында өсүүчү  экендигин көрсөткүлө.                  

                                                                                                                                                      

                                                                       Жообу:  барабардык х тер үчүн оң белгиде.

                                                                                     

         9.                                     Жообу: функциясы х тин кандай  маанилеринде кемийт?

                                                                             

                                                                        Жообу:  маанисинде

       10.                                    функциясы кандай аралыкта

                                                                          кандай өзгөрө тургандыгын

                                                                          аныктагыла.

                                                                          Жообу:  аралыгында өсөт;

                                                                                        аралыгында кемийт

                                                                                         аралыгында өсөт.

     11. U=функциясычы? 

                                                                           Жообу:  аралыгында өсөт;

                                                                                         аралыгында кемийт;

                                                                                         аралыгында өсөт.

     12. функциясычы?     

                                                                          Жообу:  аралыгында өсөт,

                                                                                          аралыгында  кемийт,

                                                                                       аралыгында өсөт. 

     13.   функциясычы?   

                                                                         Жообу: ; аралыгында кемийт,

                                                                                      аралыгында өсөт,

                                                                                         аралыгында кемийт,

                                                                                         аралыгында өсөт.                                                                             

     14.     функциясычы?                                        

                                                                            Жообу:  аралыгында өсөт,

                                                                                          аралыгында  өсөт,

                                                                                          аралыгында кемийт,

                                                                                          аралыгында өсөт.

     15.                                 

                                                                           

                                                                           чекиттеринде функциясы кандай

                                                                           мааниге ээ боло ала тургандыгын

                                                                           аныкта.

                                                                           Жообу:        чекиттеринде

                                                                                              чекитинде өсөт,

                                                                                            чекитинде кемийт.

                                                              

    16.   чекиттеринде y=sin2x+cos2x функциясы кандай мааниге ээ боло ала тургандыгын тапкыла.                                     

                                                                Жообу:

                                                                                     чекитинде өсөт;

                                                                                    чекитинде өсөт;

                                                                                    чекитинде да    өсөт;

                                                                                     чекитинде да  өсөт;                 

                                                                                       чекитинде кемийт.

                                                                                            

      17.  аралыгындагы   функциясынын эң чоң жана эң кичине маанилерин тапкыла.

                                                                Жообу:     болгондо

      18.                                                   болгондо  функциясын изилдегиле.

                                                                                                                                                        Жообу:   1) Аныктоо областы

                                                                               2)  аралыгында өсөт,

                                                                                аралыгында да кемийт;

                                                                                аралыгында өсөт.

                                                                                3)

       19.                функциясын изилдегиле.          

                                                                                1) аныктоо областы

                                                                                2)  аралыгында өсөт,  

                                     аралыгында кемийт,  аралыгында     өсөт.

                                                                                 3)                     

                                                                                

§ 5. Функциянын максимум жана минимум маанилерин табууга карата маселелер.

          Практикада кездешүүчү маселелерде функциялык байланыш даяр формулалар менен берилбейт, Мындай учурда маселенин шартына карат изилденүүчү функциянын эң чоң же эң кичине маанилери көз каранды боло тургандай аргумент менен функциянын байланыш туюндуруучу теңдеме түзүү керек.

         № 1. Узундугу 1000м. болгон зым берилген. Ушул зым  менен тик бурчтук формасындагы кандай эң чоң аянтты курчоого болот?

         Чыгаруу. Изилделүүчү тик бурчтуктун бир жагын «х»  дейли (30-чийме), анда анын экинчи жагы  болот. Изилделүүчү тик бурчтуктун аянтын S аркылуу белгилесек, анда ал тик бурчтуктун жагынан (х тен) функция болот жана  функциясынын

эң чоң маанисин табу үчүн, анын туундусун табабыз:

                        

         Туундусун бул маанисин нулга барабарлайбыз да келип чыккан теңдеменин тамырын табабыз:

                                     

         Эгерде аргументке  маанилерди берсек  ал эми  маанилерди берсек  боло тургандыгы (1) барабардыктан көрүнүп турат, демек S (х) функциясы х=250 чекитине максимумга ээ.

         Ошентип,

Бул учурда 

                    

демек, изделүүчү тик бурчтук – квадрат.

         Жообу: Периметри бирдей (м: 1000 м ден) болгон бардык тик

                        бурчтуктардын ичинен ичинен квадрат гана эң чоң аянтка ээ.

         № 2. Жогорку бөлүгү жарым тегерек формасындагы терезенин периметрии 12 м. Терезенин аянты эң чоң болсун үчүн анын бийиктиги менен кеңдиги кандай байланышта болуу керек?

         Чыгаруу. Терезенин жарым тегерек бөлүгүнүн радиусун «х» деп белгилейли (31-чийме), анда CDE жарым айланасынын узундугу  болот.

         Демек,

Терезенин аянтын S аркылуу белгилесек, анда

        

 

болгон маанилерди, мисалы х=1,5 маанини берсек, анда  (оң) эгерде х ке болгон маанилери, мисалы, х=1,7 маанини берсек, анда (терс) боло тургандыгы (2) барабардыктан көрүнүп турат, демек S(х) функциясы х=1,6 чекитинде максимумга ээ.

         Мындай болгон учурда терезенин тик бурчтук формасындагы бөлүгүнүн бийиктиги ВС=6-х-

                                      Демек     болуп чыкты.

         Жообу: Терезенин аянты эң чоң болсун үчүн анын тик бурчтуу бөлүгүнүн бийиктиги жарым тегерек бөлүгүнүн радиусуна барабар болуу керек.

         № 3.  санын, көбөйтүндүсү эң чоң сан болгоудай кылып эки бөлүккө бөлгүлө.

         Чыгаруу.  санынын изделүүчү бөлүгүнүн бири «х» болсун дейли, анда анын экинчи бөлүгү а-х болот, жана булардын көбөйтүндүсү:

              

Туундуну нөлгө барабарласак:

          

Эгерде х ке  маанилерди берсек анда туундунун белгиси оң, эгерде х ке  маанилерди берсек, анда туундунун белгиси терс боло тургандыгы (3) барабардыктан көрүнүп турат, демек көбөйтүндүсү  болгондо эң чоң мааниге ээ.

         Жообу: Көбөйтүндүсү эң чоң болсун үчүн  санын экиге тең бөлүү керек.

         № 4. Тик бурчтуу үч бурчтуктун катети менен гипотенузасынын суммасы Р, алардын арасындагы бурч кандай болгондо бул үч бурчтуктун аянты эң чоң болот?

        Чыгаруу. Берилген үч бурчтугунда (32-чийме) болсун. Эгерде катетин «х» аркылуу белгилесек, анда жана экинчи катет

 Ал эми үч бурчтуктун аянты болсо  функциясы аныктоо областы  мындан

терс сан менен туюнтулган болор эле. Демек,  аралыгынан турат.

         Үч бурчтуктун аянты эң чоң болсун үчүн, квадраттык тамырдын алдына турган туюнтма  эң чоң мааниге ээ болуу керек. Ал туюнтманы у аркылуу белгилейли, анда  Бул функциянын туундусун таап нөлгө барабарлайлы:

 мааниси функциясынын аныктоо областына кирбейт, ошондуктан  маанисин карап көрөбүз.

         Аргументтин  маанилеринде функциянын туунду сунун белгиси чоң   ал эми аргументтин  маанилеринде болсо туундунун белгиси терс  демек аргументтин  маанисинде у функциясы, б. а. S(х) функциясы (үч бурчтуктун аянты ) эң чоң мааниге ээ.

Бул учурда, үч бурчтуктун катети

 

Жообу: Тик бурчтуу үч бурчтуктун аянты эң чоң болсун үчүн суммасы Р болгон катет менен гипотенузанын арасындагы бул  болуш керек, жана бул учурда үч бурчтуктун эң чоң аянты:

 ка барабар.

         № 5. Пароходдо отундун зарп кылынышы анын ылдамдыгынын кубуна пропоциялаш.

         Ылдамдык 10 км/саат богон учурда ар бир саатта 3 сомдук отун кылынып, калган (ылдамдыктан көз каранды болбогон) зарп кылыныш саатына 48 сомдон тургандыгы белгилүү. Пароходдун ылдамдыгы кандай болгондо 1 км жолго кетүүчү жалпы зарп кылыныш эң аз болот?

         Чыгаруу. Жолодун 1 км узундугуна кетүүчү зарп кылыныштардын суммасы изилденүүчү функция болот жана ал ылдамдыкка көз каранды болбогон зарп  кылыныштар (саатына 48 сом) менен ылдамдыктын кубуна пропорциялаш болуп отунга жумшалуучу зарп кылыныштардын жалпы суммасынан турат, б. а.  1 саат ичиндеги зарп кылыныштардын жалпы суммасы  дан турат. Пропорциялаштыктын коэффиценти «к» ны аныктайбыз. Маселенин шарты боюнча  экендиги белгилүү, мындан к=0,003.

         Ошентип, изилденүүчү функция:  дан турат 1 км узундуктагы жолду өтүүгө  саат убакыт кетек, демек 1 км жолго кетүүчү жалпы зарп кылыныш

теңдемен     тан турат.

Бул функциянын туундусун таап нулга барабарлап, келип чыккан теңдеменин тамырларын аныктайбыз:

        

         Жообу: Пароходдун эң чоң үнөмдүү ылдамдыгы 20 км/саат.

         № 6. Радиусу R болгон шарга ичтен сызылган эң чоң көлөмдүү конустун бийиктигин тапкыла (33-чийме).

         Чыгаруу. Шаарга ичтен сызылган конустун негизинен радиусун у аркылуу, бийиктигин аркылуу, көлөмүн V аркылуу белгилеп:

экендигине ээ болобуз. Бирок,  ге, анткени кесиндиси тик бурчтуу үч бкрчтуктун тик бурчунун чокусунан гипотенузага түшүрүлгөн перпендикуляр болуп эсептелет.

          , демек  Ошентип конустун көлөмү:

         Бул функциянын максимум мааниси табуу үчүн аны туундулап, туундусун нулга барабарлайбыз:

          

Аргументтин  мааниси маселенин шартын канааттандыра албайт, ошондуктан,  маанисин алабыз.

         Маселенин шартын канааттандыра турган конустун бийиктиги  маанисин алабыз.

         Маселенин шартын канааттандыра турган конустун бийиктиги  экендигине ишенүүчү үчүн R=1 бирбик деп алып, түн кандайдыр бир айланасында (мисалы, х=1 жана х=2 маанилеринде)  тын белгисин өзгөрүшүн карап көрүү керек.

         Жообу: Конустун бийиктиги       

         № 7. Тышкы каршылыгы R болгон кезде тогунун күчү эң чоң болгудай кылып ар биринин ички каршылыгы r жана э. к. к. Е болгон гальваникалык n элементти батареяга кандайча бириктирүүгө болот?

         Чыгаруу. Эгерде өз ара параллель бириктирилген элементтердин санын х аркылуу белгилесек, анда өз ара удаалаш кошулган группалардын саны  болот. Бул учурда О мдун закону боюнча токтун күчү

           болот.

         Мында nE көбөйтүндүсү турактуу чоңдук болгондуктан токтун күчү «I»  суммасы эң кичине болгондо гана эң чоң мааниге ээ боло алат, б. а. токтун күчүнүн чоңдугу жалаң гана ушул суммага көз каранды болот.

         Ошондуктан, булл функцияны өзүнчө

 деп белгилейли. Бул функциянын туундусун нулга барабарлайбыз:

         Мындан

Мындай болгон учурда (4) барабардыктан көрүнүп тургандай батареяны жалпы ички каршылыгы

          ге

б. а. жалпы ички каршылык   тышкы каршылыкка (R) барабар богондо гана батарея эң көп ток бере алат.

         № 8. Тик бурчтук формасындагы такта темирдин жан жактарын анын бүткүл узундугу боюнча жогору карай ийип, үстү ачык аштоо жасоо керек. Такта темирдин кеңдиги 80см. Аштоонун туурасынан кесилиши үстү ачык тик бурчтук.

         Аштоонун сыйымдуулугу эң чоң болсун үчүн такта темирдин жан жактарынан канчалык кеңдикте ийүү керек?

         Чыгаруу. Аштоонун узундугу маселенин чыгарылышы үчүн эч кандай мааниге деле ээ эмес, аштоонун сыймдуулугу биздин маселенин шартында анын туурасынан кесилиш аянтына гана пропорциялаш. Маселенин шартына ылайык келүүчү чиймени кызып алсак да болот.

         Эгерде такта темирдин жан жактарынан ийилүүчү тилкенин х аркылуу белгилесек, анда анын туурасынан кесилиш аянты х(80-2х) болот. Ошентип, биз (0; 40) аралыгындагы функциясынын максимумун табышыбыз керек.

         Функциянын туундусу:

                                      

Нульга барабарлап:  экендигине ээ болобуз. чекитинин айланасындагы туундунун белгилерин карап көрөлү:

        

         Туундунун белгиси оңдон терске өттү, демек функциясы точкасында максимумга ээ жана анын максимум мааниси

         Жообу: Аштоонун сыйымдуулгу эң чоң болсун үчүн берилген өлчөмдөгү такта темирдин жан жактарынан 20 см ден ийүү керек.

 

         § 6. Окуучулардын өз алдынча иштөөлөрү үчүн маселелер.

          №1. Узундугу 100м тактай менен дарыянын жээгиндеги тик бурчтук формасындагы кандай эң чоң аянтты үч жагынан курчоого болот?

         Жообу: Узуну туурасынан эки эссе узун болгон тик бурчтук формасындагы аянтты.

         № 2. Жагынын узундугу а богон квадрат формасындагы темир тактанын төрт бурчунан тең барабар квадратчалар кесилип ташталат да келип чыккан тик бурчтуктарды ийе бүктөп үстү ачык параллелепипед формасындагы корбка жазашат. Бул коробканын көлөмү эң чоң болсун үчүн кесилип ташталуучу квадратчалардын жактары канчалык болу керек?

        Жообу: берилген такта темирдин ар бир бурчунан жагынын узундугу  болгон квадратчаларды кесип таштоо керек.

         № 3. Бийиктиги Н негизинен радиусу R богон конус формасындагы жыгачтан эң чоң көлөмдүү цилиндр жазоо үчүн анын бийиктигин канчалык кылып алуу керек?

         Жообу: Цилиндрдин бийиктигин конустун бийиктигинин  не барабар кылып алуу керек.

         № 4. Туурасынан кесилишинин диаметри d болгон жумуру жыгачтан туурасынан кесилиши тик бурчтук формасындагы устун жазалган. Ал устундун бекемдиги эң чоң болсун үчүн анын жактарын кандай кылып алуу керек?

         Көрсөтүү: Эгерде устундун туурасынан кесилишиндеги тик бурчтуктун кеңдигин «х» бийиктигин «у» деп белгилесек, анда устундун бекмдиги көбөйтүндүсү менен туюнтулат, б. а. тик бурчтуктун кеңдигине жана бийиктигинин квадратына пропорциялаш.

          Жообу: Тик бурчтуктун кеңдигинин (диагоналга болгон тик бурчтуу проекциясын)  узундугунда кылып алуу керек.

          № 5. Айланага ичтен тик бурчтуу үч бурчтуктар сызылган. Бул бурчтуктардын эң чоң аянттуусунун катеттерин тапкыла. Айлананын радиусу 2 см.

         Көрсөтүү: Бир катети х болсо, экинчиси  болот, демек аянты

Жообу:

         № 6. R радиустуу айланага ичтен сызылган тең капталдуу үч бурчтуктардын ичинен эң чоң аянттуусун тапкыла. Көрсөтүү үч бурчтуктун бийиктиги х болсо, анын негизинин узундугу  болот, демек, аянты:

        

Жообу: Тең жакту үч бурчтук.

          № 7. Радиусу R болгон шарга ичтен сызылган цилиндрдин ичинен эң чоң көлөмдүүсүнүн бийиктигин тапкыла.

         Жообу: Цилиндрдин бийиктиги

         № 8. Сыйымдуулугу 32 куб. метр, түбү квадрат формасында болгон тик бурчтуу ачык резервуар даярдоо талап кылынат.

         Резервуардын ички бетин коргошундоо керек.

         Коргошун эң аз зарп кылынсын үчүн резервуардын өлчөмдөрү кандай болу керек?

         Жообу: Негизинен жагы 4 м бийиктиги 2 м.

         9. Каптал кыры а болгон туура төрт бурчтуу пирамидалардын ичинен эң чоң көлөмдүүсүнүн бийиктигин тапкыла.

         Жообу: Пирамиданын бийиктиги

         № 10. Белгилүү бир көлөмдөгү жабык цилиндр формасында идиш даярдоо керек.

         Жообу: Бийиктиги негизинен диаметрине барабар.

         11. Туурасынан кесилиши тең капталдуу трапеция формасында болгон ачык аштоо жасоо керек. Бул аштоонун туурасынан кесилишиндеги тең капталдуу трапециянын каптал жагы кичине негизине барабар болуп, алардын ар биринин узундугу 40 см ден болсун үчүн аштоонун үстүнкү кеңдигин кандай кылып алууга болот?

         Жообу: 80 см.

         12. Тик бурчтуу үч бурчтуктун гипотенузасынын кандайдыр бир чекитинин катеттерине перпендикуляр түшүрсөк тик бурчтук пайда болот. Ушул тик бурчтуктун аянты эң чоң болсун үчүн чекитти гипотенузанын кайсы жеринен алуу керек?

         Жообу: Гипотенузанын ортосунан.

         13. Суммасы эң кичине болгудай кылып 10 санын эки оң көбөйтүүчүгө ажыраткыла.

         Жообу:

         № 14. Негизинен узундугу а, бийиктиги h болгон үч бурчтукка эки чокусу үч бурчтуктун негисинде калган эки чокусу үч бурчтуктун каптал жактарында жаткандай кылып эң чоң аянттуу тик бурчтук ичтен сызылган. Тик бурчтуктун жактарын тапкыла.

         Жообу:

         15. Кесилген конус формасындагы узундугу 20 м болгон жумуру жыгачтын негиздеринин диаметрлери 2 м жана 1 м. Бул жыгачтан туура кесилиши квадрат боло турган устун даярдалган. Устундун огу жумуру жыгачтын огу менен дал келет. Устундун көлөмү эң чоң болсун үчүн анын узундугун канчалык кылып алуу керек?

         Жообу: Устундун узундугун  кылып алуу керек.

 

АДАБИЯТТАР

          1. Берман Г. Н.., Сборник задач по курсу математического анализа, Гостехиздат, 1954.

         2. Бермант А. Ф.., Курс математического анализа, Гостехиздат 1953.

         3. Гольберг А. Г.., Функции и их исследование. Производная , Учпедгиз, Л.., 1957

         4. Зетель С. И., Задачи на максимум и минимум, Гостехииздат М., 1948.

         5. Лузин Н. Н., Дифференциальное исчисление, изд. «Советская наука»., М.., 1946.

         6. Минорский В. П., Сборник задач по высшей математике, Гостехиздат, М.-Л., 1950.

         7. Новоселов С. И., Алгебра и элементарные функции , Учпедгиз, М.., 1950.

         7. Печерский Л. Б., Орто мектептин тригонометрия курсунда чыгарылыштарды изилдөө, журнал «Мугалимдерге жардам» № 6, 1958 г.

         9. Привалов И. И. и Гальперин С. А., Основы анализа бесконечно малых, Гостехиздат, 1949.

         10. Смирнова О. И. Функции в курсе математики 10 класса, Учпедгиз, М.-Л. 1949.

         11. Тарасов Н. П., Курс высшей математики для техникумов, Гостехиздат, М. –Л. 1949.

         12. Усубакунов Р. У., Орто мектептин математика сабактарында функциянын элементардык түшүнүгүн киргизүү жөнүндө, журнал «Мугалимдерге жардам» № 5 1956.

         13. Фиктонгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального, исчисления, т. 1, Гостехиздат, М. - ., 1957.

 

 

Ддаярдаган А.Д. Ибраев