Ф А Л Е С

(болжол менен б.э.ч. 625-548-ж.ж.)

Милеттеги античтик мектептин негиздөөчүүсү Фалести эң биринчи илимди жараткан окумуштуу деп да эсептешет. Ал Кичи Азиядагы Эгей деңизинин боюнда жайгашкан гректердин соода шаары Милетте туулган.

Биздин эрага чейинки VI кылымда Милет даңкы далайга кеткен көп сандагы соодагерлер, кол өнөрчүлөр, деңизде сүзүүчүлөр жашаган тынчы жок шаар болгон.

Милеттик соодагер-моряктар да алыскы саякаттарга жөнөп турушкан. Ошондуктан алар үчүн: деңизде кантип багыттарды аныктоо керек? Жээктен кемеге чейинки аралыкты кантип аныкташ керек? ж.у.с. суроолорго жооп табуу маселелери турган. Мындай теориялык суроолордун

чечилишине адамдардын турмушундагы ийгиликтеринин такай көз карандылыгы, Милет шаарын античтик илимдердин бешигине, ал эми окумуштуу Фалести анын төл башчысына айланткан.

Фалес да соодагер адам болгон. Ал оливка майы менен ийгиликтүү соода кылып жакшы киреше тапкан. Египетке, Орто Азияга ж.б. жактарга көп саякат жасаган. Ал барган жерлердеги жрецтердин, кол өнөрчүлөрдүн жана деңизде сүзүүчүлөрдүн тажырыйбаларын абдан кызыгып үйрөнгөн. Кийинчерээк саякатын жана соода

герлигин токтотуп, жанына окуучуларды топтоп бардык өмүрүн илим менен алп урушууга арнайт. Ошентип, милеттик античтик ионий мектеби уюштурулат. Бул мектептен көптөгөн гректин атактуу окумуштуулары чыккан. Алардын арасында ааламдын чексиздиги тууралу биринчилерден болуп айткан, тик бурчтуу проекцияны колдонуп биринчи географиялык картаны түзгөн Анаксимандр, Күн жана Айдын тутулушун түшүндүрүүчү гипотезаны тартуулаган Анаксимен бар.

Фалестин илимий ишмердиги практика менен да тыгыз байланышта болгон. Храмдардын курулушуна жетекчилик кылып жүрүп, ал жарым айланага ичтен сызылган бурч ар дайым тик бурч болот, башкача болушу мүмкүн эмес деп далилдеген. Күндүн тутулуш себебин түшүндүрүү, күндүн узарышынын токтолуш жана күн менен түндүн узактыгынын теңелиш убактысын белгилөө, жылдын узактыгы 365 күн болоорун аныктоо ж.б. бир катар астрономиялык ачылыштарды Фалеске тиешелүү деп жүрүшөт. Ошондой эле ал биринчилерден болуп “аалам жарыкчылыгы кудайдын жаратканы” деп эсептегенден баш тартып, дүйнөдөгү бардык нерселер алгачкы заттан турат деп тастыктаган. Ал сууну алгачкы зат деп эсептеген. “Суу – эң алгачкы элемент, анын жааны – жер, анын буусу – аба жана от” – деп эсептейт Фалес. Ушул себептүү ал гректердин стихиялуу материалистик философиясынын төл башы болуп чыга келген.

Фалес геометр катары да белгилүү. Шартуу түрдө бир катар: тегеректин диаметр аркылуу тең экиге бөлүнүшү, тең капталдуу үч бурчтуктун негизиндеги бурчтардын барабардыгы, вертикалдык бурчтардын барабардыгы, тик бурчтуу үч бурчтуктардын белгилеринин бири ж.б. жөнүндөгү теоремалардын ачылыштары жана далилдөөлөрү Фалеске тиешелүү деп жүрүшөт.

Жээктен көзгө көрүнгөн кемеге чейинки аралыкты аныктоонун кызыктуу ыкмасын Фалес ачкан. Аның үчүн алар тик бурчтуу үч бурчтуктардын окшоштук белгисин колдонушкан деп тарыхчылардын айрымдары тастыкташат.

Ал биринчи болуп илимге, айрым алганда математикага далилдөөнү киргизгендиги үчүн Фалестин тукумдары ага миң мертебе ыраазычылыгын билдиргенге милдеттүү болсо керек. Азыркы учурда көпчүлүк математикалык эрежелер Грецияга караганда бир кыйла мурда ачылгандыгы белгилүү, бирок алардын бардыгы тажырыйба жолу менен ачылган. Ошондой эле ишенимдүү чындык катары кабыл алынган жалпы жоболордун негизинде кандайдыр бир айтылыштын туура экендигин так логикалык далилдөө гректер тарабынан ойлоп табылган. Грек математикасынын нукра жаңы жүзү жана мүнөзү – бул далилдөөнүн жардамы аркылуу бир айтылыштан башкасына ырааты менен өтүү болуп эсептелет. Так ушундай мүнөз математикага Фалес тарабынан берилген. Чындыгында, илимий тизмеде Фалеске эмнелер таандык жана аны гений деп сыймыктанышкан тукумдары ага эмнелерди тиешелүү деп айтышканын азыр айтыш кыйын. Ошентсе да Греция биринчилерден болуп Фалес өңдүү бир учурда философ, математик жана жаратылыш сынчысына ээ болгон. Мына ошондуктан байыркылардын аны өткөн замандагы акылмандардын “укмуштудай жетөөсү” (великолепной семерке) тизмегине киргизишкени капысынан эмес болсо керек.

Даярдаган Б.Келдибаев

П И Ф А Г О Р

(болжол менен б.э.ч. 570 – 490-ж.ж.)

Байыркы грек философу, динчил, коомдук ишмер жана математик

Пифагор болжол менен б.э.ч. 570-жылы Кичи Азиядагы

Эгей деңизинин Самос аралында туулган.

Ал өзү туулуп-өскөн жерден бир кыйла билим алгандан кийин окуусун улантыш үчүн Египетке жөнөйт. Ал Египетке жеткенче Милет шаарчасына бир канча убакка токтоп, андагы атактуу Фалестин мектебинде билимин улантат. Пифагор Милеттеги мектептен Фалестен башка дагы анын окуучусу белгилүү географ жана астроном Анаксимандрдан да бир топ маанилүү билимдерге ээ болот. Фалестин кеңеши менен Пифагор Египетке карай жөнөйт.

Пифагордун Египетте окуганы, аны ошол убактагы эң билимдүү адамдардын катарына кошот. Ал мезгилге согушка байланыштуу дагы бир каргашалуу окуялардын себебинен Пифагордун турмушунда да жагымсыз жагдайлар пайда болот. Пифагор он эки жылча Вавилондо туткунда жүрөт. Айрым бир эски легендалар боюнча ошол туткунда жүргөн мезгилде Пифагор персиялык көзү ачыктар менен жолугушуп, чыгыш астрологдору менен мамилелешип, халдейлик акылмандар менен таанышкан. Халдейлер аны чыгыш элдеринин көптөгөн жылдар бою топтогон: астрономия, медицина жана арифметика илимдери менен тааныштырышкан.

Туткундан бошотулгандан кийин Пифагор кайрадан Грецияга келип Кротон шаарчасында жашап, чет элде жүрүп өзү топтогон билимин элине тартуулоонун аракетин жасайт. Пифагор шаарчадагы эл арасында тез эле популярдуу болуп кетет. Анын айткандарын укканы чогулган элдин саны барган сайын көбөйө баштайт.

Бул жерде ал дээрлик 30 жылга жакын убакытка чейин иштеп келген өз мектебин уюштурушка жетишкен. Андагы окуу системасы бир кыйла татаал жана көп жылдык болгон. Мындагы билимге ээ болууну каалоочулар 3 жылдан 5 жылга чейинки сыноо мөөнөтүнөн өтүшү керек болгон. Ушул убакытта окуучулар унчукпастан, Мугалимдин гана айтканын угуп, эч кандай суроо бербеш милдетин алышкан. Ошол мезгилде алардын адептүүлүгү жана чыдамдуулугу текшерилген.

Пифагор окуучуларына медицина, саясий ишмердиктин принциптери, астрономия, математика, музыка, этика ж.б. боюнча билим берген. Ошондуктан анын мектебинен атактуу саясий жана мамлекеттик ишмерлер, тарыхчылар, математиктер жана астрономдор окуп чыгышкан. Пифагор мугалим эле эмес изилдөөчү (окумуштуу) да болгон. Өзү эле эмес анын окуучуларынын бир нечеси да изилдөөчүлөрдөн болуп калыптанышкан.

Ал окумуштуу катары геометрияда көп ачылыштарды жасады. Пифагор далилдеген атактуу теорема анын ысымы менен аталып жүрөт. Квадраттын жагы менен диагоналынын арасында жалпы ченем жашабайт деген фактынын ачылышы, пифагордук мектептин эң зор салымы деп жүрүшөт. Ошондой эле ошол мезгилдеги бир катар маанилүү ачылыштарды, атап айтканда: үч бурчтуктун ички бурчтарынын суммасы жөнүндөгү теорема, тегиздикти туура көп бурчтуктарга (үч бурчтуктарга, квадраттарга, алты бурчтуктарга) бөлүү жөнүндөгү маселеси ж.б. Пифагорго таандык деп да айтышат. Пифагор “космостук” фигураларды, б.а. беш туура көп грандыкты түзгөн деген маалымат бар. Бирок ал жөнөкөй туура көп грандыктардан үчөөнү: кубду, төрт грандыкты жана сегиз грандыкты гана билиши ыктымал деп да божомолдошот.

Пифагордун мектеби геометрияны илим катары мүнөздөө үчүн көп иш жасашкан. Пифагордун методунун негизги өзгөчөлүгү – бул геометрия менен арифметиканы бириктирүү болуп эсептелген.

Пифагор пропорция жана прогрессия менен көп иштеген жана фигуралардын окшоштугу менен иштегени да ыктымалдуу, анткени “Берилген эки фигура боюнча, берилгендердин бири менен тең чоңдуктагы жана экинчисине окшош үчүнчү фигураны түзүү” маселесин чыгарууну ага тиешелүү деп айтышат.

Пифагор жана анын окуучулары көп бурчтук, “өркүндөгөн сан” (өзүнүн бөлүүчүлөрүнүн суммасына барабар болгон сан), “достошкон сандар” (ар бири башкасынын өзүмдүк бөлүүчүлөрүнүн суммасына барабар болгон сандар) түшүнүктөрүн киргизишкен жана алардын касиеттерин окуп үйрөнүшкөн.

Пифагор биринчилерден болуп Жер шар формасында жана ал Ааламдын борбору, ал эми Күн, Ай жана планеталар өзүмдүк кыймылга ээ болушат деп эсептеген.Жердин кыймылы жөнүндөгү пифагорейцтердин (Пифагордун шакирттери) окуусун, канча кылым өтсө да Н.Коперник өзүнүн гелиоцентрдик окуусунун бет ачары катары кабыл алган.

Ал заттардын маанисин жана жаратылышын таанып билүү аракетинде, айрыкча сандарга жана алардын касиеттерине өзгөчө көңүлүн бурган. Пифагор турмуш-жашоонун түбөлүктүк категориялары болгон: акыйкатчылык, туруктуулук, өлүм, эркек, аял ж.б. түшүнүктөрүн сандардын жардамы менен чечмелөөгө аракет жасап көргөн. Сан Пифагор үчүн материя дагы жана Ааламдын формасы дагы болуп саналган. Мындай элестетүүдөн пифагорейцтер “Бардык заттар – сандардын маңызы” – деген негизги тезисти келтирип чыгарышкан. Ошондуктан алар сан менен бардыгынын маңызы туюндурулса, анда жаратылыштын кубулуштарын сандар менен гана түшүндүрүүгө болот деп эсептешкен. Ошентип Пифагор жана анын шакирттери өздөрүнүн жасаган иштери менен математиканын эң орчундуу тармагы болгон “сандардын теориясынын” пайдубалын түптөшкөн.

Пифагорейцтер үчүн сандардын геометриялык интерпретациясы да бөлөк-бөтөн болгон эмес. Алар чекит бир ченемге, сызык – эки, тегиздик – үч, көлөм – төрт ченемге ээ болот деп эсептешкен.

Ошондой эле пифагорейцтер сандар менен музыканы да байланыштырышкан, анткени “тетраданы” түзгөн төрт сан – бир, эки, үч, төрт – сандары белгилүү консонанттык интервалды – октаваны (1:2), квинтаны (2:3), квартаны (3:4) билдирет дешкен. Башка сөз менен айтканда декада (ондук) космостун геометриялык-мейкиндиктик эле эмес, музыкалык-гармоникалык толуктугун билгизет деп айтышкан.

Тетраданы түзгөн сандардын суммасы онго барабар (1+2+3+4=10) болгондуктан, ондук пифагорейцтер үчүн идеалдуу сан болуп эсептеп, аны менен Ааламды символдоштурушкан. Он саны идеалдуу болгондуктан, алар асмандагы планеталардын саны да он болуш керек деп божомолдошкон. Бирок ошол мезгилде Күн, Жер жана беш планета гана белгилүү болгондугун эске алганда бул божомолдун канчалык маанилүү экендигин түшүнсө болот.

Пифагор жана анын мектебинин реалдуу дүйнө менен сандык катыштарды байланыштырууга жасаган аракеттерин ийгиликсиз деп эсептөөгө мүмкүн эмес, анткени алардын жаратылышты үйрөнүүдөгү жасаган анчалык олдоксон, копол эмгектери жана элестетүү фантазиялары, Ааламдын сырларын ачуунун кандайдыр бир деңгээлде рационалдуу жолдорун көрсөтүүгө түрткү берген.

Пифагорейцтер өздөрүнөн кийин, адашуучулукту калтырып кетти деп айтыш да туура болбой калат. Анткени алар математика менен геометрияда көптөгөн ачылыштарды жасашкан. Алардын бир нече ачылыштарын Евклид өзүнүн “Башталышында” пайдаланган. Пифагорейцтик идеялардан Сократ, Платон жана анын окуучусу Аристотель да өз эмгектеринде пайдаланышкан.

Бул улуу математиктин биографиясындагы айрым фактылар тууралу ар кандай уламыштар (мифтер) да айтылып келген. Пифагор ар тараптан билимдүү өнүккөн адам болгондуктанбы, айтор ал жөнүндө буларды айтышат. Мисалы: ал кушту, учуу багытын өзгөртүүгө мажбурлаган; ал аюу мененсүйлөшкөн, ошондон кийин аюу адамдарга кол салбай калган; ал бука менен сүйлөшкөндөн кийин, бука буурчактарга тийбей чиркөөнүн жанына келип туруп калган; бир жолу дарыядан өтүп баратып, дарыянын духуна сыйынган сөздү айтканда дарыядан “Пифагор сага салам айтам!” деген үн чыккан деп айтып жүрүшөт.

Даярдаган Б.Келдибаев, А.Д.Ибраев

Ф А Л Е С

(болжол менен б.э.ч. 625-548-ж.ж.)

Е В К Л И Д

(болжол менен б.э.ч. 356-300-ж.ж.)

Евклид байыркы грек математиги, биринчи жолу бизге чейин келип жеткен математикалык теориялык трактаттардын автору Афинадан анчалык алыс эмес Тире шаарчасында туулган. Тилекке каршы, учурунда жана кийинки мезгилдерде атактуу математиктердин бири болгон Евклиддин өмүр баяны жөнүндө тарыхта кеңири маалыматтар жок.

Окумуштуулар көп убакытка чейин эле Евклид аттуу тарыхта конкреттүү адам болгон эмес, анын атын кандайдыр бир математиктердин группасы жамынып жүрүшөт деп эсептешкен. Бирок XII кылымда табылган кол жазмада ал адамдын жашаганы далилденген.

Ошондой эле анын илимий ишмердиги б.э.ч. III кылымда Александрияда жүргүзүлгөндүгү ишенчиликтүү деп айтса болот. Евклидди – Александриялык мектептин биринчи математиги деп эсептешет.

Ал өзүнүн эң көрүнүктүү “Башталыш” (латындаштырылган формасы – “Элементтер”) аттуу эмгегинде негизинен планиметрия, стереометрия, сандар теориясынын, алгебранын, катыштардын жалпы теориясынын жана пределдердин элементтерин камтыган аянттарды жана көлөмдөрдү аныктоонун методдорунун бир катар бөлүмдөрүн жазуу менен бирге эле, мурунку грек математикасынын өнүгүшүн жыйынтыктаган жана математиканын андан ары өнүгүшүнүн пайдубалын түзгөн.

Евклиддин “Башталышынын” тарыхий мааниси, андагы геометриянын логикалык түзүлүшүн аксиоматиканын негизинде жүргүзүүгө жасалган эң алгачкы аракет менен мүнөздөлөт. Евклиддин аксиоматикасынын негизги кемчилиги, анын толук эместиги, үзгүлтүксүздүк, кыймыл жана тартип аксиомаларынын жоктугу болуп эсептелет. Ошол себептүү Евклид көп учурларда интуиция жана көз болжолдоого ишенип бүтүм чыгарган дешет. Евклиддин “Башталышы” 1482-жылдан бери дүйнөнүн дээрлик бардык тилдеринде 500дөн ашык жолу басылып чыкты.

“Башталыш” чыгармасы негизинен 13 китептен (же бөлүмдөн) туруп Евклиддин эпохасындагы геометрия менен арифметика боюнча билимдердин бир кыйла чоң бөлүгүн камтыган.

“Башталыштын” алгачкы төрт китеби тегиздиктеги геометрияга арналып, аларда түз сызыктуу фигуралардын жана айлананын негизги касиеттери окуп-үйрөнүлөт.

1-китепте түшүнүктөрдүн кийинчерээк пайдаланылуучу аныктамалары берилген. Ал аныктамалар интуитивдүү мүнөзгө ээ болгон, анткени алар физикалык реалдуулук терминдерине таянган, б.а.: “Чекит – эч кандай бөлүктөрдөн турбайт”. “Сызык – бул туурасы (кеңдиги) жок узундук”. “Бет деген – узундукка жана туурасына гана ээ болот” ж.б. Бул аныктамалардан кийин беш постулат берилет, алар төмөнкүлөр:

I. Ар кандай чекиттен башка ар кандай чекитке чейин түз сызык жүргүзүүгө мүмкүн.

II. Чектелген түз сызыкты үзгүлтүксүз түз сызык боюнча улантууга мүмкүн.

III. Ар кандай борбордон жана ар кандай жаак (раствор) менен тегеректи сызууга мүмкүн.

IV. Бардык тик бурчтар өз ара барабар.

V. Эгерде эки түз сызыкка түшүрүлгөн түз сызык алар менен ички бир жактуу бурчтары эки тик бурчтан кичине бурчту түзсө, анда ал эки түз сызыктардын чектелбеген уландылары ошол эки тик бурчтан кичине жактан кездешишет.

Баштапкы үч постулат түз сызык менен айлананын жашашын камсыз кылат. Ал эми параллелдүүлүк жөнүндөгү бешинчи постулат – өтө белгилүү (эң атактуу) болуп чыга келди. Бул постулатты 19-кылымга чейинки убакытта көптөгөн математиктер кызыгышып бир нече жолу далилдөөгө аракет жасашкан менен эч кандай тыянакка келе алышкан эмес. 19-кылымда гана бул постулатты алдыңкы төрт постулаттан келтирип чыгарууга мүмкүн эместигин муюнууга (признано) туура келген. Ошентип V постулатты тануу (отрицание) – евклиддик эмес (эллиптикалык жана гиперболикалык) геометриянын келип чыгышына негиз болгон. Бул китепте Евклид үч бурчтуктардын элементардык касиеттерин далилдеген, алардын ичинде – барабардык шарттары да бар. Андан кийин бурчтун биссектрисасын, кесиндинин тең ортосун жана түз сызыкка перпендикуляр тургузууга карата кээ бир геометриялык түзүүлөрдү көргөзөт. Ошондой эле I китепте параллелдүүлүк теориясы жана кээ бир жалпак фигуралардын (үч бурчтуктун, параллелограммдын жана квадраттын) аянттарын эсептеп чыгаруу камтылган.

Евклиддин 2-китеби геометриялык алгебра деп аталган бөлүмдөн туруп, анда бардык чоңдуктар геометриялык сүрөттөлүп жана сандардын үстүндө жүргүзүлүүчү амалдар да геометриялык жол менен аткарылган, б.а. сандар түз сызыктын кесиндилери менен алмаштырылган. Ушулар менен бирге эле бул китепте айрым алгебралык формулалар, алардын ичинде квадраттык теңдеменин тамырларын түзүү, кандайдыр бир геометриялык теоремаларга эквивалентүү катары каралган.

3-китеби толугу менен айлананын геометриясына арналган, ал эми 4-китеби айланаган ичтен жана сырттан сызылган туура көп бурчтуктарга тиешелүү материалдар менен жабдылган.

Евклиддин 5-китебинде иштелип чыккан пропорциялар теориясы, ченемдүү чоңдуктарга да жана ченемсиз чоңдуктарга жакшы айкалышып берилген. Ал “чоңдук” түшүнүгүнө – узундук, аянт, көлөм, салмак, бурч, интервал ж.б. кийриген. “Башталыштын” 5-китебиндеги эң алгачкы аныктамалар: 1. Бөлүкчө – бул чоң чоңдуктун кичине чоңдугу, эгерде ал чоң чоңдукту ченей алса; 2. Эселүү деген – кичинеден чоңу, эгерде ал кичинеси менен ченелсе; 3. Катыш дегенибиз – бул эки бир тектүү чоңдуктардын саны боюнча кандайдыр бир көз карандылыгы; ж.б. болуп саналат.

6-китебинде, 5-китептеги пропорциялар теориясынын түз сызыктуу фигураларга, тегиздиктеги геометрияга, айрым учурда, фигуралардын окшоштугуна колдонулушу каралган.

“Башталыштын” 7, 8 жана 9-китептери, негизинен сандардын теориясы боюнча трактаттардан түзүлгөн жана аларда пропорциялар теориясы сандар үчүн колдонулгандыгы тууралу баяндалат.

7-китепте бүтүн сандардын катыштарынын барабардыгы аныкталат, же азыркы көз караш менен айтканда рационалдык сандардын теориясы түзүлөт.

Евклид изилдеген сандардын көпчүлүк касиеттеринин (сандардын жуптугу, бөлүнүүчүлүгү ж.б.) ичинен мисал катары 9-китебиндеги 20-сүйлөмдү алсак, ал “биринчи”, б.а. жөнөкөй сандардын чексиз көптүгүнүн жашашын мындайча аныктайт: “Каалагандай алынган сандагы биринчи сандардан чоң биринчи саны жашайт”. Бул сүйлөмдүн каршысынан далилдөөсүн азыркы күндө да алгебра боюнча окуу китебинен тапса болот.

10-китебинин окулушу бир кыйла татаалыраак; анын мазмунун геометриялык түз сызык жана тик бурчтук катары сунушталган квадраттык иррационалдык чоңдуктардын классификациясы түзөт. Мисалы ал китептеги 1-сүйлөм мындайча айтылат: "Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин". Азыркы тил менен түшүндүрүп айтканда: “Эгерде a жана b – оң анык сандар болуп жана a>b болсо, анда mb>a боло турган m натуралдык саны ар дайым бар болот” – дегенди билдирет.

“Башталыштын” акыркы үч китеби (11, 12, 13) стереометрияга арналган жана туура көп грандыкдыктардын бешөө гана жашашын далилдөө менен аяктаган.

Ошондой эле Евклиддин “Башталышынан” башка дагы бизге келип жеткен чыгармаларынан: латынча аталыштагы кандайдыр бир математикалык түспөлдү (образ) “берилген” деп эсептөөнүн шартын чагылдырган “Data” (“Берилгендер”) китебин; оптика, астрономия жана музыка боюнча китептерин атап кетсе болот.

Ал эми атактуу Евклиддин V аксиомасы (V постулат) “Башталышта” өзгөчө орунду ээлейт. Айрыкча, XIX кылымдагы Евклидди “оңдойбуз”, б.а. бул аксиоманы теорема кылабыз деген көптөгөн аракеттер кыйроого учураганга дуушар болгон. Евклиддин “Башталышы” – бул геометриянын дедуктивдүү айтылышынын үлгүсү, алгебралык тыянактардын геометриялык стилде берилиши болуп эсептелет.

Ошентип геометрия өнүгө баштады, евклиддик эмес геометрия пайда болду жана геометрия физика үчүн эксперименталдык илим болуп чыга келди. Мындай өнүгүүнүн бирден бир жолун ачкан улуу Евклиддин эмгектери деп айтсак жаңылышпайбыз.

Даярдаган А.Д. Ибраев

Архимед өзүнүн илимий ишмердигин механик жана техник катары баштоо менен Египетке сапар тартып, ал жердеги Александриялык окумуштуулар менен таанышып биргелешип иштей баштайт. Бул жердеги жасаган иш-аракеттери, анын улуу талантынын өсүп-өркүндөшүнө аябагандай чоң түрткү берген. Ошондой эле Архимед Сиракуздун падышасы ГиеронII менен да жакын болгон. 2-чи Пундук согуш учурунда Архимед рим аскерлеринен Сиракуздун инженердик коргонуусун уюштурган. Анын согуштук машиналары римдиктерди шаарды штурм менен басып алуудан баш тартырып, аларды узакка созулган курчоого алууга мажбур кылган. Акыры римдиктер шаарга кирип келип кыргын салган учурда Архимед рим жоокеринин колунан каза болоордун алдында, айтылып келген уламыштар боюнча “менин чиймелериме тийбе” – деген сөздү айткан дешет. Анын мүрзөсүнө шар жана анын сыртынан чийилген цилиндр менен сүрөттөлгөн эстелик коюлган.

Архимед математик катары ар кандай фигуралардын жана телолордун беттеринин аянттарын жана көлөмдөрүн табуунун ыкмаларын өркүндөткөн. Анын математикалык жумуштары ошол мезгилге салыштырмалуу бир кыйла алдыга кеткени менен, дифференциалдык жана интеградык эсептөөлөрдү иштеп чыгуу эпохасында гана туура бааланган. Архимед – математикалык физиканын баштоочусу катары да маалым. Математика, анын табият таануучулук жана техникалык маселелерди изилдөө иштеринде системалуу пайдаланылып келген. Архимед – механиканы илим катары иштеп чыккандардын бири болуп эсептелет. Ага бир нече ар түрдүү техникалык ойлоп-табуулар таандык.

Архимеддин жасаган иштери, анын ошол мезгилде математика менен астрономияны абдан жакшы билгендиги көрсөтүп турат жана ал изилдеген маселелердин маңызына терең үңгүп кирип териштире билгендиги таңдандырат. Анын бир нече эмгектери, досторуна жана кесиптештерине кайрылуу катары берилген. Кээде аларга өзүнүн ачылыштарын, жумшак кытмырлануу менен тамашалап, далидөөсүз жана бир нече туура эмес жолдомолорду кошумчалап мурдараак кабарлап койгон учулары да болгон.

IX – XI кк. Архимеддин эмгектери араб тилине которулуп, ал эми латынча котормосу XIII к. баштап Батыш Европада пайда боло баштайт. Анын эмгектери XVI к. баштап басмадан чыга баштайт, ошондой эле XVII – XIX кк. алар жаңы тилдерге которула баштайт. Архимеддин айрым бир эмгектеринин орусча басылмасы биринчи жолу 1823-жылы пайда болгон. Анын кээ бир эмгектери бизге чейин келип жеткен эмес, болгону үзүндү абалында белгилүү болгон, ал эми анын ”Эратосфенге кайрылуусу” кийинчээрек гана 1906-жылы табылган.

Архимеддин математикалык эмгектеринин негизги темасы – беттердин аянттарын жана көлөмдөрдү эсептеп чыгаруу маселелери болуп эсептелет. Мындай типтеги көптөгөн маселелердин чыгарылышын ал алгач механикалык элестетүүлөрдү (механические соображения) пайдалануу аркылуу таап, анан ал чыгарылыштардын ар бирин ”акырына жеткирүү методу” (метод исчерпывания) менен далилдеген.

Ошондой эле Архимед эллипстин, параболикалык сегменттин аянтын эсептеп чыгарган, конустун жана шардын беттеринин аянттарын, шардын, сфералык сегменттин жана ар кандай айлануучу телолордун, алардын сегменттеринин көлөмдөрүн тапкан. Өзүнүн изилдөөлөрүнүн учурунда бөлүмү 1/4 болгон чексиз геометриялык прогрессиянын суммасын тапканы, математикада чексиз катардын пайда болушунун алгачкы мисалы катары эсептелет. Архимед кайсы бир кубдук теңдемеге келтирилүүчү маселени изилдөөдө, кийинчерээк дискриминант деген атка конгон, мүнөздөмөнүн ролун тастыктаган. Ошондой эле үч жагы боюнча үч бурчтуктун аянтын табуунун формуласы Архимедге тиешелүү (Герондун формуласы деп туура эмес айтылып жүргөн). Архимед (толук эмес болсо да) жартылай туура томпок көп грандыктардын (архимеддик телолор) теориясын берген. “Барабар эмес кесиндилердин ичинен кичинеси жеткиликтүү санда кайталанса, анда чоңунан ашып кетет” – деген “Архимеддин аксиомасы” бөтөнчө мааниге ээ. Бул аксиома азыркы математикада маанилүү ролду ойногон архимеддик ирээтүүлүк (архимедовскую упорядоченность) деген аталышты аныктаган. Архимед өтө чоң сандарды атоого жана жазууга мүмкүн болгон эсептөөлөрдү түзгөн. Ал π санынын маанисин бир кыйла чоң тактыкта эсептеп чыгарган жана каталык пределин көрсөткөн.

Механика ар дайым Архимеддин кызыгуу чөйрөсүндө болуп келген. Ал өзүнүн алгачкы эмгектеринин биринде эле устундун таянычтарынын арасындагы оордуктардын бөлүнүштөрүн изилдеген. Телонун оордук борбору түшүнүгүнүн аныктамасы Архимедге таандык. Интеграциалык методдун айрым учурдагы колдонулушун пайдаланып, ал ар түрдүү фигуралардын жана телолордун оордук борборунун абалдарын тапкан. Рычаг законунун математикалык тыянагын Архимед берген. “Кайда турушту мага көрсөт, анда мен Жерди ордунан жылдырам” – деген учкул фразаны да Архимедге тиешелүү деп жүрүшөт. Архимед гидростатиканын негизине чыйыр салган жана бул илимий тармактын негизги жоболорун аныктаган, анын ичине атактуу Архимеддин закону да кирет. Архимеддин акыркы эмгеги сүзүүчү телонун тең салмактуулугун изилдөөгө арналган. Мында ал тең салмактуулуктун турактуу абалын баса белгилейт. Ал “архимеддик батпарек (винт)” деп аталган сууну көтөрүп чыгаруучу механизмди ойлоп тапкан. Анын бул ойлоп тапканы корабелдик, ошондой эле аба батпарегинин алгачкы үлгүсү (прообраз) катары белгиленет.

Архимед астрономия илими менен да иш алып барган. Ал Күндүн көрүнүүчү (бурчтук) диаметрин аныктоочу приборду конструкциялаган жана ал бурчтун таң калаарлык тактыктагы маанисин тапкан. Ал биринчилерден болуп Жердин борборуна байкоо жүргүзгөн. Акырында, Архимед аалам сферасын элестеткен – планеталардын кыймылын, Айдын фазаларын, күн жана ай тутулуштарын байкоого мүмкүн болгон механикалык приборду курган.

Эми Архимеддин математика областындагы ачкандарына токтололу.

Бурчтун үч секциясы жөнүндөгү маселе.

Бурчту үч барабар бөлүктөргө бөлүү маселеси архитектуранын жана курулуш техникаларынын керектелишинен пайда болгон. Жумушчу чиймелерди чийүүдө, ар түрдүү кооздуктарды иштеп чыгууда, көп грандуу колоннадаларды тургузууда, куруу иштеринде, храмдардын ичтерин жана тышкы беттерин жасалгалоодо, мүрзөлөрдөгү эстеликтерди тургузууда, байыркы инженерлер менен сүрөтчүлөр айлананы үч барабар бөлүктөргө бөлүүнү билиш зарылдыгына дуушар болушкан. Мындай абал көпчүлүк учурда кыйынчылыкты туудурган. Ушул себептүү бурчтун үч секциясы жөнүндөгү маселенин оригиналдуу, ошону менен бирге эле аябагандай жөнөкөй чыгарылышын Архимед берген.

Тегеректи ченөө.

Тегеректин квадратурасы жөнүндөгү маселенин мааниси мындайча: берилген тегеректин аянтына барабар аянттагы квадратты түзүү. Бул маселени чечүүдө Архимед зор салым кошкон. Ал өзүнүн “Тегеректи ченөө” аттуу трактатында төмөнкү үч теореманы далилдеп көрсөткөн.

Биринчи теорема: Тегеректин аянты, бир катети ал тегеректин айланасынын узундугуна, ал эми экинчисы тегеректин радиусуна барабар болгон тик бурчтуу үч бурчтуктун аянтына барабар.

Экинчи теорема: Тегеректин аянтынын, анын диаметрине тургузулган квадраттын аянтына болгон катышы, жакынча 11:14 катышына барабар.

Үчүнчү теорема: C–3d < d жана C–3d > d, мында С – айлананын узундугу, ал эми d - анын диаметри. Анда, d < C–3d < d. Архимед сандын жогорку жана төмөнкү чегин, тегеректин ичинен жана сыртынан сызылган алты бурчтуктан баштап 96 бурчтукка чейинки туура көп бурчтуктардын периметрлеринин диаметрге болгон катыштарын удаалаш кароо менен аныктаган.

Архимеддин спиралы.

Архимеддик спираль – 0 полюсунун айланасында турактуу w бурчтук ылдамдыгы менен айланып, 0 чекитинен чыккан шоола боюнча v турактуу ылдамдыгы менен кыймылдаган М чекитинин траекториясын көрсөткөн жалпак трансценденттик ийри болуп эсептелет. Анын полярдык координатадагы теңдемеси: r=aj, мында a=v/w. Бул ийри эки бутактан турат (j нын оң жана терс маанилерине тиешелүү болгон). Удаалаш эки оромдун арасындагы аралык турактуу: 0А₁=А₁А₂=2pa. Ал эми М₁0М₂ секторунун аянты: S=(j³₂-j³₁)a²/6.

Инфинитезималдык методдор

Инфинитезималдык методдордун группасына: нактай толук кароо методу (метод исчерпывания), интегралдык суммалоо методу, дифференциалдык методу кирет. Булардын ичинен эң байыркысы интегралдык суммалоо методу болуп эсептелет.Ал фигуралардын аянттарын, телолордун көлөмдөрүн, ийри сызыктардын узундуктарын эсептөөлөрдө колдонулган. Айлануудан пайда болгон телолордун көлөмүн эсептөө үчүн, алар бөлүктөргө бөлүнүп ал бөлүктөрдүн ар бири, көлөмү эсептөөгө мүмкүн болгон ичтен жана сырттан сызылган телолорго жакындаштырылат (аппроксимируется). Жакындаштырылуучу сырткы жана ички телолорду, алардын көлөмдөрүнүн айырмасы аябагандай кичине болгондой кылып тандоо керек.

Даярдаган А.Д. Ибраев

Николай Иванович Лобачевский

(1792-1856)

Орустун улуу математиги

Дүйнөнүн көп математиктери кылымдар бою Евклиддин бешинчи постулатын далилдөө менен алышып келишкен, бирок орус окумуштуусу гана бешинчи постулаттын башкалардан көз карандысыздыгы жөнүндөгү гениалдуу ачылыш жасаган. Ошонун негизинде Лобачевский Евклиддин геометриясынан айырмалуу башка геометрияны түзү мумкүн экендигин далилдеген: мындай геометрия Лобачевскийдин геометриясы деп аталат. Николай Иванович Лобачевский 1792-жылы 1 декабрде төрөлгөн. Анын атасы майда чиновник болгон. Атасы өлгөндөн кийин ал жаш кезинде эле жетим калган. Ошол моменттен баштап анын өмүрү Казань шаары менен байланыштуу болгон.Казандагы гимназияны бүтүргөн соң ал Казань универистетин бүтүрүп анын профессору жана ректору болуп эмгектенген. Өзү тирүү кезинде Лобачевскийдин сиңирген эмгеги татыктуу бааланган эмес. Ал убакытты артка таштап озунуп эмгектенген. Лобачевскийдин идеясын дүйнө тааныгандан кийин гана геометрияда жаңы эра башталган. Лобачевский башка да толуп жаткан эң мыкты ачылыштарды жасаган, бирок ошентсе да алардын эң негизгиси Лобачевскийдин геометриясынын ачылышы болуп эсептелет.

Жогоруда айтылгандай Евклиддин V постулатын далилдөөгө карата көп кылымдар бою жасалган аракеттер ХIХ кылымдын башында жаңы геометриянын ачылышына алып келди. Бул жаңы геометриянын ачылышы биринчи жолу Николай Иванович Лобачевскийдин «Геометриянын башталышы жөнундө» деген эмгегинде 1829-жылы жарыяланган. Бирок, бул жаңылыкты ачкандыгы жөнүндө докладды ал 1826-жылы 11-февралда Казан универистетинин физика-математика факультетинин заседаниесинде жасаган.

Ошондуктан 1826-жылдын 21-февралын (эски стил боюнча 11-февраль) жаңы, евклиддик эмес геометриянын ачылыш датасы деп эсептешет.Н.И.Лобачевскийдин ошондо жасаган доклады «Параллель түз сызыктар жөнүндөгү көрсөтүлгөн геометриянын башталышынын кыскача баяндалышы» деп аталып,француз тилинде жазылган. Ушул докладында жаңы геометриянын негизи баяндалган.

Н.И.Лобачевский Казан универистетинде окутуучу болуп иштей баштаган учурунун алгачкы жылдарында эле Евклиддин V постулатын далилдөөгө аябай аракет кылган.Өзунун V постулатты далилдөөгө жасаган аракетинин ийгиликсиз аякташы жана андан мурдагы окумуштуулардын да аны далилдөөлөрүнун ийгиликсиз болушу Н.И. Лобачевскийди жаны идеяга,пикирге алып келген: Евклиддин V постулатын (параллелдик аксиомасын) далилдөөгө болбойт,анткени анын тууралыгы Евклиддин геометриясынын калган аксиомаларынан келип чыкпайт, эгерде V постулатты, б.а. анын параллелдик аксиомасын жокко чыгарып тануучу (же ага карама-каршы болгон) аксиоманы кабыл алсак, анда ал бизди жаңы геометрияга алып келет. Чындыгында эле, Н.И. Лобачевский Евклиддин параллелдик аксиомасын жокко чыгарып, б.а. «тегиздикте берилген туз сызыктан тышкары жаткан чекит аркылуу ага параллель болгон жок дегенде эки түз сызык жүргүзүүгө болот» деп эсептеп, ошондой эле Евклиддин калган аксиомаларын ошол бойдон кабыл алып, эч кандай карама-каршылыкка учурабаган көп теоремаларды далилдеген.Ал теоремалар логикалык жактан туура болгон, бирок, алар Евклиддин геометриясындагы теоремалардан таптакыр айырмаланган.Алар жаңы геометриянын теоремалары болуп эсептелген. Лобачевский өзүнүн бул жаңы геометрясын «Элестетүүчү геометрия» деп атаган. Н.И.Лобачевскийдин геометрия боюнча чоң ачылыш жасагандыгы жогору баланып, аны «геометриянын Коперниги» деп аташкан.

Кылымдар бою өкум сүрүп келген Евклиддик геометриянын окумуштуулардын аңсезимине сиңип калышы,жаны геометрияны кабыл алууга кыйла тоскоолдук кылган. Ал-бетте, ал кезде мындай жаңы геометрия алар үчүн таң калаарлык болуп көрүнөт эле. Ошентип, Лобачевскийдин геометриясы ал убакта (өзүнүн тирүүсүндө) толук кабыл алынган эмес. Лобачевский Евклиддин V постулатына, б.а. параллелдик аксиомасына карама-каршы болгон төмөндөгүдөй аксиоманы кабыл алган.

. а каалагандай түз сызык, А ал түз сызыкта жатпаган чекит болсун. Бул түз сызык жана чекит аркылуу аныкталган тегиздикте А чекити аркылуу өтүп, а түз сызыгы менен кесилишпей турган жок дегенде эки түз сызык өтөт. Бул Лобачевскийдин аксиомасы деп аталат.

Лобачевский өзүнүн геометриясын түзгөндө Евклиддин параллелдик аксиомасынан башка анын бардык аксиомаларын, б.а. абсолюттук геометриянын бардык аксиомаларын кабыл алган. Демек, ал Евклиддин параллелдик аксиомасын гана өзгөрткөн. Анда а түз сызыгы жана андан тышкары жаткан А чекити аркылуу өтүп, а түз сызыгы менен кесилишпей турган түз сызыктын бар экендиги абсолюттук геометриянын теоремалары аркылуу негизделет.

Лобачевскийдин аксиомасы боюнча А чекити аркылуу а түз сызыгы менен кесилишпей турган жок дегенде эки түз сызык жүргүзүүгө болот. Алар b жана с түз сызыктары болсун. (1- сүрөт). Анда А чекити аркылуу өтүп, бурчунун ичинде жаткан бардык башка түз сызыктар да а түз сызыгы менен кесилишпейт.

Демек, А чекити аркылуу а түз сызыгы менен кесилишпей турган чексиз көп түз сызыктар болот. Лобачевскийдин аксиомасы аткарылат деп эсептелген тегиздикти (мейкиндикти) Лобачевскийдин тегиздиги (мейкиндиги) деп аташат. Ошентип, Лобачевскийдин геометриясынын аксиомалары Евклиддин аксиомаларынан (параллелдик аксиомасынан башка), б.а. абсолюттук геометриянын аксиомаларынан (I-IV группалардагы аксиомалардан) жана Лобачевскийдин аксиомасынан турат. Анда абсолюттук геометриянын аксиомалары, Лобачевскийдин аксиомасы жана андан чыгуучу натыйжалардын чогуусу Лабочевскийдин геометриясын аныктайт.

Лабочевскийдин геометриясында параллель түз сызыктар кандай аныкталат? деген суроо туулат. а түз сызыгы жана андан тышкары жаткан А чекити берилсин. Бул берилген чекит менен түз сызык бир тегиздикти аныктайт (2-сүрөт). А чекитинен а түз сызыгына АD га перпендикулярын түшүрөбүз. АD га перпендикулярдуу болгон АЕ шооласын жүргүзөбүз. Анда АЕ менен а түз сызыгы кесилишпейт. А чекити аркылуу а түз сызыгы менен кесилише турган жана кесилишпей турган чексиз көп түз сызыктарды (шоолаларды) жүргүзүүгө боло тургандыгы белгилүү.

Анда А чекити аркылуу өтүүчү түз сызыктардын (шоолалардын) чогуусун эки топко бөлүүгө болот: кесилишүүчү жана кесилишпөөчү. Бул учурда АF шооласы биринчи топко, АЕ шооласы экинчи топко тиешелүү болот. деп эсептейли. болот.

Эгерде F чекитин а түз сызыгы боюнча оң жакка жылдырсак, анда бурчу чоңоет, бирок тан кичине бойдон кала берет. Эгерде F чекити а түз сызыгы боюнча чексиз алыстаса, AF шооласы кандайдыр АВ пределдик абалына ээ болот. Ал шоола кесилишүүчү жана кесилишпөөчү шоолаларды бөлүп туруучу чектеги шоола болот. Бул акыркы кесилишүүчү шоола же биринчи кесилишпөөчү шоола болот. Бирок, АВ кесилишүүчү шоола боло албайт. Тескерисинче, АВ менен а түз сызыгы М чекитинде кесилишет десек, анда а түз сызыгында М чекитинин оң жагынан дагы бир чекитин табат элек. Бул учурда шооласы да кесилишүүчү шоола болуп, АВ шооласынын оң жагында жатат эле. Анда АВ бөлүүчү шоола боло албайт эле. Демек, АВ шооласы а түз сызыгы менен кесилишпей турган биринчи шоола.

Ошондой эле, АВ шооласы АЕ шооласы менен да дал келбейт. Эгерде ал дал келсе, анда Евклиддин параллельдик аксиомасына ээ болот элек. Бул учурда Лобачевскийдин аксиомасы аткарылбай калат.

Ошентип, DAB бурчунун ичинде жатуучу ар кандай AF шооласы а түз сызыгын кесип өтөт,ал эми ВАЕ бурчунун ичинде жатуучу ар кандай AN шооласы а түз сызыгын кеспейт .

Эгерде АD перпендикулярына карата АВ шооласына симметриялуу болгон АС шооласын жүргүзсөк, ал дагы чектеги бөлуп туруучу шоола болот. АВ шооласы кандай касиеттерге ээ болсо, АС шооласы да ошондой касиеттерге ээ болот.

AF,АВ,АЕ,АN,АС шоолалары тиешелүү түрдө түз сызыктарын аныктайт. бурчунун ичинде жаткан бардык түз сызыктар аны кесет.

Чектеги сызыктары гана а түз сызыгына параллель деп аталат.

бурчу параллелдик бурч деп аталат.Ал дайыма кичине болот.

Демек, А чекити аркылуу өтүп, а түз сызыгы менен кесилишпеген түз сызыктардын бардыгына эле а га параллель деп эсептөөгө болбойт.Мисалы, түз сызык-тары а га параллель болбойт.

Ошентип, а түз сызыгына карата А чекити аркылуу өтүүчү түз сызыктардын тобун Лобачевскийдин тегиздигинде үчкө бөлүүгө болот:

1.Кесилишүүчү түз сызыктар – алар ж.б. түз сызыктар.

2. Параллель түз сызыктар – алар .

3.Ажыроочу түз сызыктар – алар ж.б.

Лобачевскийдин тегиздигинде параллель түз сызыктардын багыты эске алынат. Мисалы, түз сызыгы а түз сызыгына D жана чекитин карай параллель, ал эми түз сызыгы а түз сызыгына ны карай параллель деп эсептелет. Эгерде түз а га параллель болсо, анда а түз сызыгы түз сызыгына параллель болот (ошол багыт боюнча). Параллельдик белгисин деп белгилейбиз.

Эгерде болсо, анда болот (белгилүү бир багыт боюнча).

Жогоруда баяндалгандардын бардыгынын карама-каршы эместигин көрөтүү максатында алрды кандайдыр бир моделде кароо (текшерип көрүү) оңтойлуу болуп эсептелет . Ал модель А.Кэли (1821-1895, англиялык математик) жана Ф.Клейн (1849-1925, немец математиги) тарабыныан түзүлгөн. Ал Кэли – Клейнидин модели деп аталат. Албетте, модель каалагандай эле түзүлө бербейт. Лобачевскийдин геометриясындагы негизги обьектилер жана алардын арасындагы байланыштар системасы аткарылгандай моделди түзүү керек.Лобачевскийдин планиметриясын сүрөттөп көрсөтүү (интерпретациялоо) үчүн Евклиддик тегиздикте К ачык тегереги алынган (3-сүрөт). Кэли-Клейндин бул моделинде төмөндөгүдөй «сөздүк» кабыл алынган:

1. Чекит катарында К тегерегинин ички чекиттерин гана кабыл алабыз. К тегерегинин айланасында жаткан чекиттер (С,D,М,N) «өздүк эмес» же чексиз алыстатылган чекиттер болуп эсептелет.Ал эми тегеректен тышкары жаткан чекиттер (В,F) «идеалдык» чекиттер деп аталат.

2. Түз сызык катарында К тегерегинин каалагандай хордасы кабыл алынат. (а,b,с,d ж.б.).

3. Тегизидик катарында К тегерегинин өзү алынат.

4. «Тиешелүү», «арасында жатат» деген түшүнүктөр Евклиде кандай алынса мында да ошондой алынат.

Бул моделде абсолюттук геометриянын I-IV группаларындагы тегиздиктик аксиомалар толук аткарылат. Мисалы, Р жана Q

чекиттери аркылуу тегерекке хорда жүргүзүүгө болот, б.а. түз сызык алыкталат. Мында РQ кесиндисин Лобачевскийдин геометрия метриясындагы кесинди деп эсептөөгө болот, анткени Р менен Q чекиттери сөздүктө кабыл алынган чекиттер. Ал эми QN кесиндисин Лобачевскийдин геометриясындагы кесинди деп эсептөөгө болбойт,анткени N өздүк эмес чекит. Кэли-Клейндин моделинде үч бурчтуктарды, кесилишүүчү жана кесилишпөөчү түз сызыктарды көрсөтүүгө болот. Мисалы, А,Р,Q чекиттерин удаалаш туташтырсак АРQ үч бурчтугун алабыз, а жана d түз сызыктары Е чекитинде кесилишет, а менен b сызыгы, а менен с түз сызыгы кесилишпейт. Бул моделде кесиндилердин узундугу жана бурчтун чоңдугу кыйла татаал формула менен туюнтулат.

Конгурнттуүлүк жөнүндөгү түшүнүк да ушуга негизделген. Ошондуктан биз буга токтолгонубуз жок. Ошондой болсо да, Лобачевскийдин геометриясынын тегиздиктик аксиомаларын бул моделде текшерүүгө болот.

Лобачевскийдин аксиомасын текшеребиз, а туз сызыгын,андан тышкары жаткан А чекитин алабыз. А чекити аркылуу чексиз көп түз сызык жүргүзүүгө болот, алардын айрымдары а түз сызыгы мен кесилишет, айрымдары кесилишпейт, b жана түз сызыктары а түз сызыгына параллель деп алынат. Ал а эми менен с түз сызыктары ажыроочу түз сызыктар болот. Демек, Лобачевскийдин аксиомасы да бул моделде аткарылат.

Лобачевскийдин геометриясынын планиметрия бөлүгүнүн айрым фактыларын белгилөөгө болот. Албетте, аларды далилдөөгө мүмкүн, биз мында алардын далилденишине токтолгонубуз жок.

1. Ар кандай үч бурчтуктун ички бурчтарынын смуммасы тан кичине.

2. Үч бурчтуктун ички бурчтарынын суммасы тан кичине болу менен бирге турактуу эмес, ал бир үч бурчтуктан экинчи үч бурчтукка өткөндө өзгөрүп турат.

3. Эки үч бурчтуктун туура келүүчү үч бурчтары барабар (конгруэнттүү) болсо, анда ал үч бурчтуктар конгруэнттүү болушат.

4. Ар кандай эки түз сызык жалпы эки перпендикулярга ээ болбойт.

Демек, Лобачевскийдин тегиздигинде тик бурчтук деген жок.

Мунун натыйжасында параллель түз сызыктардын арасындагы аралык турактуу

эмес экендигин байкайбыз. Алар параллелдик багыты боюнча бири-бирине чексиз жакындайт,ал эми карама – каршы багытта бири-биринен алыстайт.

Ажыроочу эки түз сызык бир гана жалпы перпендикулярга ээ болот. Ал перпендикуляр алардын арасындагы эң кыска аралыкты аныктайт. Ажыроочу түз сызыктар ал жалпы перпендикулярдан алыстаган сайын бир-биринен ажырай баштайт. Демек, бир түз сызыкка түшүрүлгөн эки перпендикуляр ажыроочу түз сызыктар болушат.

Н.И. Лобачевскийдин гениалдуу эмгегинин мааниси өтө зор жана көп грандуу. Аннын эмгегинин маанисин төмөндөгүдөй айрым фактылар менен белгилеп көрсөтуугө болот:

а) Н.И. Лобачевский тарабынын түзүлгөн жаңы геометрия илимге, анын ичинде

геометрия илимине зор ревалюция жасады. Эки миң жылдар бою окумуштуулар геометриянын аксиомаларын өзгөртүүгө мүмкүн эмес деп эсептеп келишкендиги белгилүү, Н.И. Лобачевский болсо, илимдин өсүп өнүгүү процесинде аксиомаларды текшерүүгө, тажрыйбанын негизинде тактоого жана өзгөртүүгө Евклиддин V постулатын, б.а. параллелдик аксиоманы ага карама – каршы аксиома менен алмаштырып жаңы, Евклиддик эмес геометрияны түздү. Гоеметрия жаңы өсүшкө ээ болду.

б) Н.И. Лобачквский Евклиддин V постулаты (параллелдик аксиомасы) калган аксиомалардан көз каранды эмес экендигин далилдеп, ошондой эле анны далилдөөгө мүмкүн эмес экендигин көрсөттү. Демек, Н.И.Лобачевскийдин ою боюнча, Евклиддин геометриясы бирден-бир мүмкүн болгон геометрия болуп эсептелбейт, башка да геометриялар болушу мүмкүн. Ошентип, профессор В.Ф.Кагандын (1869-1953) сөзү боюнча: «Лобачевский геометриянын негизин ширеп турган музду жарып талкалады».

Н.И. Лобачевскийге чейин илим бир гана геометрияны билген. Азыркы убакта бизге белгилүү геометриялардын саны көбөйүүдө.

в) Лобачевскийдин геометриясынын түзулүшү жалпы эле геометриянын түзүлүшүнө, ошону менен бирге математиканын негизделишине азыркы көз карашта болууга алып келди. Демек, Лобачевскийдин эмгеги азыркы математика үчүн мүнөздүү болгон аксиоматикалык методдун башталышын түздү. Аксиомалаштыруу маселеси математиканын башка областтарында да колдонула баштады.

г) Лобачевскийдин идеялары Эйнштейндин (1879-1955, физик) салыштырмалуулук

теориясында, кванттык механикада, өтө чоң ылдамдыкка ээ болуучу кыймылдарды үйрөнүүдө, азыркы атомдук физикада, космос илиминде кеңири колдонула баштады жана колдонулуп жатат.

Даярдаган А.Д. Ибраев

А р х и м е д

(болжол менен б.э.ч. 287 – 212-ж.ж.)

Байыркы грек окумуштуусу, математик жана механик Архимед болжол менен б.э.ч. 287-жылы Сицилия аралындагы Сиракуз шаарчасында туулган. Аны астроном Фидиянын баласы болгон деп божомолдошот.