1. КӨПТҮКТӨР ЖӨНҮНДӨГҮ НЕГИЗГИ ТҮШҮНҮКТӨР

1.1. Көптүк жөнүндөгү алгачкы түшүнүктөр.

1.2. Камтылган көптүктөр.

1.3. Көптүктөрдүн биригүүсү, кесилиши жана толуктоочусу.

2. НАТУРАЛДЫК САНДАРДЫН КӨПТҮГҮ

2.1. Натуралдык сандар жана алардын касиеттери.

Натуралдык сандар түшүнүгү илгертеден эле белгилүү. Алар буюмдарды, эмеректерди ж.б. саноо үчүн колдонулган. Өсүү тартибинде жайгашкан бардык натуралдык сандар натуралдык сандардын көптүгүн (же катарын) түзүшөт: биринчиси – бир, экинчиси – эки ж.б.

Бардык натуралдык сандардын көптүгүн N тамгасы менен белгилөө кабыл алынган, б.а.

N көптүгү – чексиз, анын эң кичине элементи 1 жана ал эң чоң элементке ээ эмес. Ар кандай натуралдык сан үчүн андан кийинкисин көрсөтүүгө болот: 4 санынан кийин 5 саны, 327ден кийин 328 саны келет, жалпысынан айтканда санынан кийин саны келет.

көптүгү так натуралдык сандардын көптүгү, ал эми көптүгү жуп натуралдык сандардын көптүгү деп аталат. Мындан .

N көптүгүндө кошуу жана көбөйтүү амалдары ар дайым аткарылат, б.а. эки натуралдык санды кошкондо (же көбөйткөндө) жыйынтыгы натуралдык санды берет дегенди билдирет.

а жана b эки натуралдык санын кошуу дегенибиз натуралдык сандардын көптүгүнөн p санын табуу болуп эсептелет. Бул p саны а жана b сандарынын суммасы деп аталып түрүндө белгиленет, мында а жана b сандары кошулуучулар деп аталат, б.а. болот.

а натуралдык санын b натуралдык санына көбөйтүү дегенибиз натуралдык сандардын көптүгүнөн q санын табуу керектигин билдирет. Ал q саны а жана b сандарынын көбөйтүндүсү деп аталып түрүндө белгиленет, мында а жана b сандары көбөйтүүчүлөр деп аталат, б.а. болот.

Ар кандай a, b, c натуралдык сандары үчүн төмөндөгү барабардыктар (касиеттер) туура болуп эсептелет:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Натуралдык сандарды кошуу жана көбөйтүү амалдарына тескери болгон кемитүү жана бөлүү амалдары натуралдык сандар үчүн мындайча аныкталат.

n натуралдык санынан m натуралдык санын кемитүү дегенибиз

(3)

барабардыгы аткарыла турган х санын табууну айтабыз. Ар кандай n жана m натуралдык сандары үчүн (3) барабардык туура болгондой х натуралдык саны ар дайым эле жашабайт, б.а. каалаган натуралдык сандан каалаган натуралдык санды кемиткенде жыйынтыгы ар дайым эле натуралдык санды бербейт. Эгерде болсо, анда х натуралдык саны жашайт жана бирөө гана болот. Ал сан n жана m сандарынын айырмасы деп аталып көрүнүшүндө белгиленет жана мындагы n – кемүүчү, ал эми m – кемитүүчү болуп эсептелет, б.а. болот.

n натуралдык санын m натуралдык санына бөлүү – бул

(4)

барабардыгы аткарыла турган у натуралдык санын табууну айтабыз. Ар кандай эле n жана m натуралдык сандары үчүн (4) барабардык туура болгондой у натуралдык саны дайыма эле жашай бербейт. Эгер андай сан жашаса, анда аны n жана m сандарынын тийиндиси деп атайбыз жана көрүнүшүндө белгилейбиз, мында n – бөлүнүүчү, ал эми m – бөлүүчү деп аталат, б.а. . Эгерде (4) барабардык аткарылса, анда m жана у сандарын n санынын бөлүүчүлөрү деп айтса да болот, б.а. же барабардыктары бул учурда туура болот.

2.2. Кеңейтилген натуралдык сандардын көптүгү.

Нөл деген жаңы сан киргизилет жана аны 0 символу менен белгилешет. Нөл натуралдык сан эмес жана бардык натуралдык сандан мурда келүүчү сан деп эсептелинет. Нөл саны менен бирге алынган натуралдык сандардын көптүгү – кеңейтилген натуралдык сандардын көптүгү (же натуралдык сандардын кеңейтилген катары) деп аталат жана тамгасы менен белгиленет.

көптүгүндө кошуу жана көбөйтүү амалдары ар дайым аткарылат, ошондой эле буга нөл саны катышкан амалдарды кошумчалоого болот:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Нөлгө эч качан бөлүүгө мүмкүн эмес.

Кеңейтилген көптүктүн сандары менен иш алып баруу үчүн, алардын кандайча жазылаарын билишибиз керек. Тигил же бул натуралдык сандын жазылышы эсептөө системасынан көз каранды.

Биз мындан ары эсептөөнүн ондук системасында гана иш жүргүзөбүз. Каралуучу системада биринчи тогуз натуралдык санды – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 белгилери, ал эми нөл санын – 0 белгиси менен белгилөө киргизилген жана алар цифралар деп аталат. Он саны бул системада 10 символу менен белгиленип, калган ар бир m натуралдык саны мындайча көрсөтүлөт:

(5)

мында – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифраларынын каалаган бири; ал эми , – 0, 1, 2, …, 9 цифраларынын каалаган бири болуп эсептелет.

m санынын жазылышы үчүн көбүнчө цифралардын позициялык маанилери деген принципке негизделген жазылыш формасы колдонулат. Бул принциптин маңызы – ар бир цифра, өзүнүн маанисинен башка дагы турган ордуна жараша позициялык мааниси деп аталуучу мааниге да ээ болот дегенди билдирет. Мисалы 6 деген цифра: алты бирдик – эгерде ал m санынын жазылышында оң жактан биринчи орунда турса; алты жүздүк – эгерде ал m санынын жазылышында оң жактан үчүнчү орунда турса ж.б. маанилерге ээ болушу мүмкүн. Маселен 3067 деген жазуу – сан үч миңдиктен, нөл жүздүктөн, алты ондуктан жана жети бирдиктен тураарын билгизет,б.а.

Эгерде m саны (5) көрүнүшүндө берилсе, анда анын позициялык принципке негизделген жазылышы төмөнкүдөй болот:

Үстүнө коюлган сызыкча – бул позициялык формада жазылган санды, көбөйтүндүсүнөн айырмалоо үчүн коюлган. Биз мындан ары m натуралдык санынын эки формадагы жазылышын пайдаланабыз:

а) ;

б) .

Көбүнчө натуралдык сандарды жазганда позициялык форманы пайдаланабыз, бирок

(6)

барабардыгын ар дайым эске алабыз.

2.3. Бөлүнүүчүлүк белгилери.

Кээде а санын b санына бөлбөстөн туруп эле нын га калдыксыз бөлүнөөрүн (мындан ары калдыксыз деген сөзү жок пайдаланалы) билүүгө болот. Бул суроого бөлүнүүчүлүктүн ар түрдүү белгилеринин жардамы менен жооп берүүгө мүмкүн.

Натуралдык сандарды кошуунун жана көбөйтүүнүн касиеттерине таянып төмөндөгү теоремаларды далилдөөгө мүмкүнчүлүгүбүз бар.

1-теорема. Эгерде а жана b сандарынын ар бири p санына бөлүнсө, анда суммасы да p санына бөлүнөт.

Далилдөө. Эгерде p саны а жана b сандарынын бөлүүчүсү болсо, анда жана . 5-касиетти колдонуп ге ээ болобуз. Мындан саны да p санына бөлүнөөрү келип чыгат.

Мисалы кошууну аткарбастан туруп эле 24+60+84 суммасы 12ге бөлүнөт десек болот, анткени сумманын ар бир кошулуучусу 12ге бөлүнөт.

2-теорема. Эгерде а жана b сандарынын жок дегенде бири эле p санына бөлүнсө, анда көбөйтүндүсү да p санына бөлүнөт.

Далилдөө. Мейли p саны а санынын бөлүүчүсү болсун дейли. Анда биз көбөйтүндүсү да га бөлүнөөрүн далилдейли. а саны га бөлүнөт десек, анда болот. 4-касиетти колдонуп га ээ болобуз. десек, анда ны алабыз. Бул деген көбөйтүндүсү да га бөлүнөөрүн билгизет.

Мисалы көбөйтүүнү аткарбай туруп эле көбөйтүндүсү 17ге бөлүнөт деп айтсак болот, себеби 34 саны 17ге бөлүнөөрү шексиз.

Эскертүү: бул теоремалардагы айтылган шарттар жеткиликтүү гана шарттар, бирок суммасынын же көбөйтүндүсүнүн p санына бөлүнүшүнө зарыл шарт эмес. Мисалы 27 да 21 да 8ге эселүү эместигине карабастан суммасы 8ге бөлүнөт. Ошондой эле 12 жана 13 сандарынын ар бири 26га бөлүнбөйт, бирок көбөйтүндүсү 26га бөлүнөт.

3-теорема. натуралдык саны ге бөлүнүш үчүн, анын акыркы цифрасы ге бөлүнүшү зарыл жана жеткиликтүү.

Мисалы 13076 саны 2ге бөлүнөт, ал эми 943 саны 2ге бөлүнбөйт.

4-теорема. Кандайдыр бир натуралдык саны 3кө бөлүнүш үчүн, анын бардык цифраларынын суммасы (б.а. ) кө бөлүнүшү зарыл жана жеткиликтүү.

Мисалы 552 саны 3кө бөлүнөт, себеби саны 3кө бөлүнөт. Ал эми 1036 саны 3кө бөлүнбөйт, анткени . 10 саны 3кө бөлүнбөйт.

5-теорема. натуралдык саны кө бөлүнүш үчүн, санынын кө бөлүнүшү (б.а. берилген сандын акыркы эки цифрасы 00, 04, 08 болсо же акыркы эки цифрадан түзүлгөн эки орундуу сан кө бөлүнсө) зарыл жана жеткиликтүү.

Далилдөө. Жеткиликтүүлүгү. Мейли саны 4кө бөлүнсүн. Анда m санын мындай көрүнүштө жазып алалы:

(7)

б.а. жана болот. Бул учурда (7) барабардыктын оң жагындагы ар бир кошулуучу 4кө бөлүнөт, ошондуктан сумма дагы 4кө бөлүнөт, б.а. m саны 4кө калдыксыз бөлүнөт.

Зарылдыгы. Мейли m саны 4кө бөлүнсүн. Анда (7) барабардыктан

экендиги келип чыгат. Бул барабардыктын оң жагындагы айырманын эки компонентинин ар бири 4кө бөлүнөт. Демек, айырмадагы 4кө бөлүнөт, б.а. саны 4кө бөлүнөт. Т.к.д.

Мисалы 50124 саны 4кө бөлүнөт, анткени 24 саны 4кө бөлүнөт. Ал эми 978 саны 4кө бөлүнбөйт, себеби 78 саны 4кө бөлүнбөйт.

6-теорема. Кандайдыр бир натуралдык сан ке бөлүнүш үчүн, анын акыркы цифрасы 0 же 5 болушу зарыл жана жеткиликтүү.

Мисалы 385 жана 640 сандары 5ке бөлүнөт, себеби алардын биринин акыркы цифрасы 5, экинчисиники – 0. Ал эми 472 саны 5ке бөлүнбөйт, анткени анын акыркы цифрасы 2ге барабар.

7-теорема. Кандайдыр бир натуралдык сан га бөлүнүш үчүн, анын бардык цифраларынын суммасы га бөлүнүшү зарыл жана жеткиликтүү.

Далилдөө. Жеткиликтүүлүгү. Мейли кандайдыр бир m натуралдык санын (5) формуласы боюнча

көрүнүшүндө жазып алалы. Айталы бул сандын цифраларынын суммасы, б.а. саны 9га бөлүнсүн дейли. Төмөнкү барабардыктын туура экендиги шексиз:

Анда болот. Эми ди

(8)

көрүнүшүндө жазып алсак, мында

, .

(8) барабардыктын оң жагындагы u жана v кошулуучуларынын ар бири 9га бөлүнөт, анда алардын суммасы б.а. m саны дагы 9га бөлүнөт.

Зарылдыгы. Мейли m саны 9га бөлүнсүн. Анда (8) барабардыгынан экендиги келип чыгат, б.а.

Бул барабардыктын оң жагындагы айырманын ар бир компоненти га бөлүнөт, анда саны дагы 9га бөлүнөт.

Мисалы 28017 саны 9га бөлүнөт, анткени саны 9га бөлүнөт. Ал эми 345 саны 9га бөлүнбөйт, себеби саны 9га бөлүнбөйт.

2.4. Натуралдык сандарды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратуу.

N көптүгү бир, жөнөкөй жана курама сандардан турат. Эгерде натуралдык сан эки гана бөлүүчүгө (өзү жана бир) ээ болсо, анда ал жөнөкөй сан деп аталат. Эгерде натуралдык сан экиден ашык бөлүүчүлөргө (б.а. бир жана өзүнөн башка жок дегенде дагы бир бөлүүчүгө) ээ болсо, анда ал курама сан деп аталат.

Мисалы, 37 саны – жөнөкөй, анткени ал эки гана бөлүүчүгө б.а. 1 жана 37 бөлүүчүлөрүнө ээ. Ал эми 28 – курама, себеби анын бөлүүчүлөрү алтоо: 1; 2; 4; 7; 14; 28.

Жөнөкөй сандардын көптүгү чексиз болуп эсептелет. Ошондой эле 1 саны жөнөкөй да, курама да сан эместигин белгилей кетели.

Ар кандай n курама санын жөнөкөй сандардын көбөйтүндүсү түрүндө жазууга болот. Санды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратууда бөлүнүүчүлүк белгилери колдонулат жана бөлүүчү вертикалдык сызыкчанын оң жагына жайгашкан, ал эми тийинди бөлүнүүчүнүн астына жазылган мамычалуу жазуу пайдаланылат. Мисалы

252

126

561

187

600

300

150

Демек .

Санды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратууда айрым көбөйтүүчүлөр бир нече жолу кездешиши мүмкүн. Ошон үчүн ажыратылышта ал жөнөкөй көбөйтүүчү канча жолу көбөйтүлөөрүн көрсөткөн даража менен жазуу кабыл алынган. Мисалы .

8-теорема (арифметиканын негизги теоремасы). Ар бир натуралдык саны үчүн, анын бир гана жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратылышы жашайт (Бул жерде теорема далилдөөсүз кабыл алынат).

Ошентип ар кандай натуралдык санын төмөндөгүдөй жазууга болот:

. (9)

Мында – n санынын ар түрдүү жөнөкөй бөлүүчүлөрү, ал эми – n санынын ажыратылышындагы жөнөкөй бөлүүчүлөрдүн кайталаныш саны.

натуралдык санынын (9) көрүнүшүндөгү жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратылышы жалгыз гана болот, б.а. n санынын бөлүүчүсү боло алган башка жөнөкөй сандар жашабайт жана даража көрсөткүчтөрү башка көрсөткүчтөр менен алмашылбайт.

2.5. Бир нече натуралдык сандардын эң чоң жалпы бөлүүчүсү жана эң кичине жалпы бөлүнүүчүсү.

Айталы 48 жана 72 сандары берилсин. 48 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн A менен, ал эми 72 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн B менен белгилейли:

;

A жана B көптүктөрүнүн кесилишин табалы:

Бул көптүктүн бардык элементтери 48 жана 72 сандарынын жалпы бөлүүчүлөрү болушат, ал эми мындагы эң чоң элемент 24 саны – эң чоң жалпы бөлүүчү болуп эсептелет. Аны деп белгилешет.

Демек a жана b натуралдык сандарынын ар бири q натуралдык санына бөлүнсө, анда ал q саны a жана b сандарынын жалпы бөлүүчүсү деп аталат.

Эгерде a жана b натуралдык сандары бир нече жалпы бөлүүчүлөргө ээ болсо, анда ал жалпы бөлүүчүлөрдүн көптүгү чектүү. Ар кандай чектүү натуралдык сандардын көптүгүнөн дайыма эң кичине жана эң чоң элементти табууга болот. Бир нече сандардын жалпы бөлүүчүлөрүнүн көптүгүндө 1 – эң кичине элемент экендиги ар дайым анык, ал эми негизинен бул көптүктөгү эң чоң элементти табуу кызыктуу маселе болуп эсептелет.

Ошол эң чоң элемент, б.а. a жана b сандарынын жалпы бөлүүчүлөрүнүн эң чоңу, a жана b сандарынын эң чоң жалпы бөлүүчүсү деп аталат жана деп белгиленет.

Эгерде болсо, анда a жана b сандары өз ара жөнөкөй сандар деп аталат. Мисалы 15 жана 28 сандары өз ара жөнөкөй сандар. Чындыгында, айталы 15 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн , ал эми 28 санынын бөлүүчүлөрүнүн көптүгүн болсун дейли. Анда . Демек .

Эгерде бир нече натуралдык сандар жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратылган болсо, анда алардын эң чоң жалпы бөлүүчүсүн табуунун мындай эрежеси бар. Ал эреже боюнча ны таап көрөлү, б.а. санынын жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратылган жазылышын кантип алабыз ошону көрсөтөлү.

Бул сан a санынын жана b санынын жөнөкөй ажыратылыштарында бир учурда бар болгон жөнөкөй көбөйтүүчүлөрдөн турат. Эгерде ал жалпы көбөйтүүчүлөр ар бир ажыратылышка түрдүүчө көрсөткүчтөр менен кирген болсо, анда ал көбөйтүүчүлөрдүн ар бири эң кичине көрсөткүч менен алынат.

Мисалдар. 1. 588 жана 2100 сандарынын эң чоң жалпы бөлүүчүсүн тапкыла.

Чыгаруу. Берилген сандарды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратып төмөнкүгө ээ болобуз:

Анда биз санынын жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратылган жазылышы жогоруда айтылган эреженин негизинде мындайча аныкталат. Бул учурда 2 саны ажыратылыштардын экөөнө тең экинчи даражада кирет, ошондуктан тын алабыз. Ушундай эле жол менен 3тү жана 7ден бирөөнү алабыз, ал эми 5 көбөйтүүчүсүн албайбыз, анткени ал ажыратылыштардын бирине эле кирип экөөнө бир учурда кирбейт. Ошентип

2. D(657; 3150) – тапкыла.

Чыгаруу. Дагы эле жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратуу жолун пайдаланып

экендигин билебиз. Анда

a жана b натуралдык сандарынын эң кичине жалпы бөлүүнүчүсү деп, a га жана b га бир эле учурда бөлүнгөн натуралдык сандардын эң кичинесин айтабыз жана K(a,b) деп белгилейбиз.

Айталы A – 12ге эселүү (бөлүнүүчү) сандардын, ал эми B – 16га эселүү сандардын көптүктөрү болушсун, б.а.:

A жана B көптүктөрүнүн кесилишин тапсак: . көптүгүнүн элементтери 12 жана 16 сандарынын жалпы бөлүнүүчүлөрү деп аталат. Бул көптүк чексиз, ошон үчүн анын эң чоң элементин табуу мүмкүн эмес, бирок эң кичине элементи бар – ал 48 саны болот. Бул эң кичине элемент 12 жана 16 сандарынын эң кичине жалпы бөлүнүүчүсү деп аталат, б.а. .

Эскертүү: эгерде p саны a га жана b га бөлүнсө, анда ал K(a,b) га да бөлүнөт.

Бул эскертүүбүз көбүнчө бөлүнүүчүлүк маселелерин изилдөөдө пайдаланат. Мисалы 540 саны 4кө, 5ке, 6га бөлүнөт. Демек, ал K(4, 5, 6) = 60 санына да бөлүнөт.

Жогоруда карагандай эле эгерде бир нече сандар жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратылган болсо, анда алардын эң кичине жалпы бөлүнүүчүсүн табуунун да эрежеси бар. Ошол эреже боюнча K(a,b)ны таап көрөлү, б.а. K(a,b) санынын жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратылган жазылышын кантип алабыз ошону көрсөтөлү.

Бул сан a жана b сандарынын жок дегенде биринин жөнөкөй ажыратылышына кирген жөнөкөй көбөйтүүчүлөрдөн турат. Эгерде кайсы бир көбөйтүүчүлөр ар бир ажыратылышка түрдүүчө көрсөткүчтөр менен кирген болсо, анда ал көбөйтүүчүлөрдүн ар бири эң чоң көрсөткүч менен алынат.

Мисалдар. 1. – тапкыла.

Чыгаруу. 252 = 2²×3²×7; 1350 = 2×3³×5² экендигин оңой эле эсептейбиз. санынын жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратылышы мындайча табылат. Айтылган эреже боюнча санынын жөнөкөй көбөйтүүчүлөрү болуп 252 жана 1350 сандарынын жок дегенде биринин ажыратылышына кирген көбөйтүүчүлөр эсептелет. Ал эми 2 жана 3 көбөйтүүчүлөрү ажыратылыштардын ар бирине киргендиктен, алар эң чоң көрсөткүчтөрү менен алынат. Анда:

2. – тапкыла.

Чыгаруу. деп тапсак, анда

9-теорема. Ар кандай а жана b натуралдык сандары үчүн

(10)

дайыма туура болот.

Мисалы 45 жана 108 сандары үчүн Dны жана Kны тапсак:

Анда D(45, 108) = 3² = 9; K(45, 108) = 2² ×3³ ×5 = 540 болот.

Эгерде D(45, 108) экендиги белгилүү болсо, анда (10) барабардыкты пайдаланып K(45, 108)ны (же тескерисинче) тапса болот, б.а.

Эгерде a жана b сандары өз ара жөнөкөй болушса, б.а. D(a;b) = 1 , анда K(a;b) = ab . Бул дегенибиз, эки өз ара жөнөкөй сандардын эң кичине жалпы бөлүнүүчүсү ал сандардын көбөйтүндүсүнө барабар экендигин билгизет.

Мисалы K(14, 15) = 14×15 = 210, себеби D(14, 15) = 1.

2.6. Калдыктуу бөлүү.

а натуралдык санын b натуралдык санына калдыктуу бөлүү дегенибиз – бул

a = bq + r (мында 0 £ r < b) (11)

барабардыгы аткарыла турган, кеңейтилген натуралдык сандардын катарынан q жана r сандарын табууну билдирет. Бул жерде q саны тийинди, а саны бөлүнүүчү, b саны бөлүүчү, ал эми r калдык деп аталат. Эгерде r=0 болсо, анда а саны b санына калдыксыз бөлүнөт деп айтышат.

Мисалы 2328 санын 103 санына бөлгөндөгү тийиндини жана калдыкты табалы.

Чыгаруу. Бурч боюнча бөлүүнү аткаралы:

Ошентип тийиндиси – 22, ал эми калдыгы – 62 болот. Эгерде (11) барабардыкты эске алсак, анда 2328=22×103+62 деп жазып алабыз.

Кээдэ а жана b сандарынын эң чоң жалпы бөлүүчүсүн табыш үчүн

D(a, b) = D(a, r) (12)

барабардыгы 0<r<b учурунда колдонулат. Бул жерде далилдөөсүн карайбыз.

Мисалы D(720, 315) ти табыш керек дейли.

Чыгаруу. 720 = 315×2+90 экендигинен D(720, 315) болот. Ошондой эле 315 = 90×3+45 болгондуктан

D(315, 90) = D(90, 45) . Дагы ушундай эле 90 = 45×2+0 болушунан D(90, 45) = D(45, 0) = 45 экендиги келип чыгат. Демек D(720, 315) = 45.

Бул аткарган ишибизди башкача мындай да түшүндүрсө болот:

б.а. D(720, 315) саны үчүн удаалаш бөлүүдөгү эң акыркы калдыктан мурунку калдык алынат, качан гана акыркы калдык нөл болсо.

Дагы бир мисал. D(1023, 217) – тапкыла?

Чыгаруу.

Жооп: D(1023, 217)=31 .

Берилген мисалдарды (12) барабардыгынын негизинде чыгаруу ыкмасын Евклиддин алгоритми деп аташат.

3. БҮТҮН САНДАРДЫН КӨПТҮГҮ

Биз жогоруда натуралдык сандардын көптүгүндө ар дайым эле кемитүү амалы аткарыла бербегендигин, б.а. (3) теңдемеси ар дайым эле натуралдык чыгарылышка ээ эмес экендигин көрдүк. Мисалы 15 + x = 9 теңдемеси натуралдык сандардын көптүгүндө чыгарылышка ээ эмес, б.а. N көптүгүндө 9 санынан 15 санын кемитүү мүмкүн эмес. Ушундай кыйынчылыктардан арылуу максатында, б.а. кошуу жана көбөйтүү амалдарынан башка дагы кемитүү амалы ар дайым аткарыла турган көптүккө чейин N көптүгүн кеңейтүү зарылдыгы келип чыгат.

Ал үчүн жаңы сандар – минус белгиси менен алынган натуралдык сандар, б.а. терс бүтүн сандар деп аталуучу (–n) түрүндөгү сандар түшүнүгү (мында ) киргизилет.

Бардык натуралдык сандардан, нөл жана бардык терс бүтүн сандардан турган көптүктү бүтүн сандардын көптүгү деп айтабыз жана Z тамгасы менен белгилейбиз, ал эми бул сандардын өзү бүтүн сандар деп аталат, б.а.

Эми натуралдык сандарды оң бүтүн сандар деп айтууга болот.

Эгерде а жана b натуралдык сандары барабар болушса, анда терс бүтүн (–a) жана ( –b) сандары да барабар болушат.

Ошентип Z көптүгүнөн алынган эки сан, эгерде алар же барабар натуралдык сандар, же барабар терс бүтүн сандар болушса, же ар бири нөлгө барабар болсо, анда алар барабар болушат.

Эми биз Z көптүгүнүн сандары үчүн кошуу, көбөйтүү жана кемитүү амалдарынын аткарылышына токтололу.

Эгерде эки сан Z₀ көптүгүнө таандык болсо, анда аларды кошуу жана көбөйтүү 2.2-п. каралгандай эле аткарылат. Ал эми ал сандар Z көптүгүнө тиешелүү болушса, анда аларды кошуу, көбөйтүү жана кемитүү амалдары төмөндөгүдөй жүргүзүлөт :

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и) ;

к)

л)

м) .

Ошондой эле Z көптүгүндө карама-каршы сандар деген жаңы түшүнүк пайда болот, б.а. эгерде эки бүтүн сандын суммасы нөлгө барабар болсо, анда ал сандар карама-каршы сандар деп аталат. Мисалы 13 менен (–13) жана (–8) менен 8 карама-каршы сандар, себеби 13+(–13) = 0 жана (–8)+8 = 0. Демек a жана (–a) сандары карама-каршы сандар болушат, анткени a+(–a) = 0.

Ошентип N Ì Z₀ Ì Z болоору келип чыгат.

Бүтүн сандарды кошуунун жана көбөйтүүнүн касиеттери натуралдык сандарды кошуунун жана көбөйтүүнүн негизги касиеттерине эле окшош болгондуктан бул жерде карап олтурбайбыз.

Тактап айканда Z көптүгүндө кошуу, көбөйтүү жана кемитүү амалдары ар дайым аткарылат, ал эми бөлүү амалы болсо ар дайым эле аткарыла бербейт. Бүтүн сандар үчүн калдыктуу бөлүү, натуралдык сандардай эле ар дайым аткарылат.

Даярдаган Б.Келдибаев