1. Математиканы окутуунун методикасы предмети

1.1. Математиканын илим катары өнүгүшү жөнүндө.

1.2. Математиканын орто мектептин окуу предмети катары мүнөздөлүшү.

1.3. Математиканы окутуунун методуна мүнөздөмө.

2. Орто мектепте математиканы окутуунун максаты

2.1. Математиканы окутуунун жалпы билим берүүчүлүк максаты.

2.2. Математиканы окутуунун тарбиялык максаты.

2.3. Математиканы окутуунун практикалык максаты.

3. Математикадагы жана аны окутуудагы илимий методдор

Жаратылыштын мыйзамдарын таанып-билүү процессинде окумуштуу-математик атайын математикалык каражаттарды жана илимий изилдөө методдорду пайдаланат. Окуу процессинде окуучулар да математикалык чындыктарды жаңы ачуучуларлардын (өз алдынча же мугалимдин жардамы менен) ордундагыдай сезилет, ошондуктан математикалык изилдөөнүн илимий методдору бул учурда окуучулардын окуудагы иш методу сыяктуу кызмат кылат.

Математикалык изилдөөнүн негизги методдору: а) байкоо жана тажырыйба; б) салыштыруу; в) анализ жана синтез; г) жалпылоо жана даректештирүү (специализация); д) абстракташтырүү жана айкындоо (конкретизация) болуп эсептелет.

Мектептик математиканы окуп-үйрөнүү процессин аны окутуу процессинен бөлүп кароого болбогондуктан, бизге математикалык изилдөө методдорун үйрөнүү менен бирге эле анын окутуудагы ордун жана маанисин таап чыгышыбыз керек.

3.1. Математиканы окутуудагы байкоо жана тажырыйба

3.1.1. Байкоо. Байкоо деп курчап турган дүйнөнүн айрым бир кубулуш-тарынын, объектилеринин касиеттерин жана катнаштарын, алардын табигий шартта каралышын, ошондой эле ал объектилердин өзүндө болгон белгилеринин табигий байланышын белгилөө менен окуп-үйрөнүү методун айтабыз.

Байкоону жөнөкөй кабыл алуудан (восприятие) айрымалай билиш зарыл.

Тигил же бул объектини кабыл алуу деген ал объектинин сезүү органына таасир эткен моменттеги аң сезимге түздөн-түз чагылдырлыш процессин билдирет. Объектиге байкоо жүргүзүү дегенибиз ал объектини кабыл алуу менен эле чектелбейт.

3.1.2. Тажырыйба (эксперимент). Тажырыйба (эксперимент) дегенде кандайдыр бир объектини же кубулушту, алардын табигий абалына жана өсүшүнө түздөн-түз кийлигишүү менен, алар үчүн жасалма (искусственный) шарттарды түзүп, жасалма жол менен аларды бөлүкчөлөргө ажыратып же башка объектилер же кубулуштар менен бириктирип окуп-үйрөнүү методун түшүнөбүз.

Ар кандай эксперимент (тажырыйба) байкоо жүргүзүү менен байланыштуу. Экспериментчи эксперименттин жүрүшүн, б.а. жасалма шартта үйрөнүлүүчү объектинин же кубулуштун абалын, өнүгүүсүн жана өзгөрүүсүн байкоого алат.

Аталган методдор айрыкча эксперименталдык илимдердерде (физика, химия) эң негизги орунду ээлешет. Мындайча айтканда, математика эксперименталдык илим эмес, эгерде кайсы бир касиет айрым бир же конкреттүү учурда туура болсо, математик ал касиетти универсалдуу деп айтпайт. Ошондуктан байкоо менен тажырыйба математикалык изилдөөлөрдө жетектөөчү методдордон болуп эсептелбейт. Бирок, кээде байкоо жана тажырыйба кандайдыр бир объектинин математикалык касиетин же анын өзүн үйрөнүүнү сүрөттөөдө, ошондой эле үйрөнүлүүчү касиеттин туура же туура эмес экендигин тастыктоодо өз көмөгүн көрсөтөт. Мындай учурларда байкоо жана тажырыйба математиканы окутуу үчүн чоң мааниге боло баштайт.

3.2. Математиканы окутуудагы салыштыруу

3.2.1. Салыштырууга мүнөздөмө. Салыштыруу – үйрөнүлүүчү объектидеги окшоштуктарды же айрымачылыктарды оюбузда тактоо дегенди билдирет.

Таанып-билүүдөгү салыштыруунун ролу баарыбызга белгилүү «Бардыгы салыштыруудан таанылып-билинет» (Все познается в сравнении) – афоризминен айдан ачык көрүнүп турбайбы. Салыштыруу изилдөө методу катары объектинин математикалык касиетин эле үйрөнүш үчүн эмес, ал касиеттерди тактоо үчүн да кеңири колдонулат.

Салыштыруу методун колдонууда, анын төмөндөгү принциптерин ар дайым эске алуубуз керек:

А) Объектилер бири-бири менен белгилүү бир байланышта болгон учурда гана аларды салыштырууга мүмкүн, б.а. салыштыруу сөзсүз мааниге ээ болушу керек. Маселен эки функциянын касиеттерин же эки бир тектүү чоңдуктарды салыштырууга болот, ал эми үч бурчтуктун периметри менен телонун массасын салыштыруу мааниге ээ эмес.

Б) Салыштыруу кандайдыр бир ырааттуулукта (планомерно) өтүшү зарыл, б.а. салыштыруулучу касиет кайсы экендигин так бөлүп көрсөтүү керек. Мисалы көп бурчтуктарды периметрлери, аянттары ж.б. боюнча салыштырууга болот.

В) Математикалык объектилердин кандайдыр бир белгиленген касиеттерин салыштыруу толук бойдон аягына чейин чыгарылышы керек.

3.2.2. Салыштыруунун математиканы окутуудагы колдонулушу. Атактуу орус педагогу К.Д. Ушинский «Салыштыруу дидактикада негизги ыкма (прием) болушу керек» деп эсептеген. Бул айтылган ой окуучуларды математикага окутууда да өзүнүн салымын кошот. Айталы арифметикалык прогрессия түшүнүгүн киргизүүдө, доскада жазылган бир нече удаалаштыктарды өз ара салыштырып көрүп, алардын кайсыларынын мүчөлөрү кандайдыр бир жалпы касиетке ээ болгондорун таап белгилөөнү талап кылуучу тапшырманы окуучуларга сунуш кылууга болот. Алар салыштыруу методунун натыйжасында арифметикалык прогрессиянын аныктамасын келтирип чыгаруусу мүмкүн. Салыштыруунун математиканы окутуудагы ордуна мындан башка дагы бир нече мисалдарды келтирүүгө болот.

3.3. Математиканы окутуудагы анализ жана синтез

3.3.1. Анализ жана синтезге кыскача мүнөздөмө. Илимий изилдөө методу болгон анализ жана синтез математикалык изилдөөлөрдө да бөтөнчө ролду ойнойт. Математиканы окутууда да алардын ролу чоң, анткени алар бул учурда ар түрдүү формада: эсептерди чыгарууда, теореманы далилдөөдө, математикалык түшүнүктүн касиеттерин окуп-үйрөнүүдө ж.б. колдонулуп келет.

Анализ менен синтез дээрлик бири-биринен бөлүнбөйт, алар бири бирин толуктоо менен бирдиктүү аналитикалык-синтетикалык методун түзүшөт. Маселен анализдин жардамы менен татаал маселе бир нече жөнөкөй маселелерге бөлүнөт, анан синтездин жардамы менен ал жөнөкөй маселелердин чечимдери биригишип бир бүтүнгө келтирилет.

Алгач анализди бүтүндөн анын бөлүкчөлөрүнө өтүү жолу, ал эми синтезди бөлүкчөлөрдөн бүтүнгө өтүү жолу деп түшүнүп келишкен. Бул мааниде түшүнүүгө турмуштук мисал катары жаш баланын бүтүн оюнчукту тетиктерге ажыратуусу же тетикчелерден бүтүн оюнчукту жыйноосун келтирсек болот.

Кийинчээрек анализди натыйжадан ошол натыйжаны пайда кылган себепке, ал эми синтезди себептен ошол себептен келип чыккан натыйжага өтүүчү ойлоо ыкмасы деп түшүндүрүлө баштады.

Рене Декарт (1596-1650-жж.) өзүнүн «Логика» аттуу китебинде анализ менен синтездин мындай маанисин майдалап изилдеген, ал эми бул методдордун маанисин төмөнкү мисалда элестүү кылып мынтип айткан.

«Улуу Карл королго мен тууганмынбы? – деген суроо коёлу деп жазат Р. Декарт. Бул суроого жооп бериш үчүн эки жол менен барса болот. Мында «тукум куучулук дарагы» боюнча өткөн ата-бабаларга барууга мүмкүн: менден Улуу Карлга; ошондой эле «тукум куучулук дарагы» боюнча өткөн ата-бабалардан келүүгө мүмкүн: Улуу Карлдан мага чейин; эгерде биз экөөбүз тең бир тукум куучулук дарагында жайгашсак, анда королго мен тууган болмокчумун – деп айткан Р.Декарт».

Бул мисалдын чечилишинин биринчи жолу анализ, ал эми экинчиси – синтез экендигин түшүндүрөт.

Анализ менен синтездин жогорудай мааниде түшүнүүгө дагы бир мисал катары кээ бир текстүү маселелердин арифметикалык жана алгебралык чыгаруу жолдорун айтсак болот; бул учурда биринчиси синтезди, экинчиси анализди элестетет. Мисалы короодогу каз-өрдөктөрдүн саны жалпысынан 23кө барабар. Алардын 15и өрдөктөр болсо, анда каздардын саны канча?

а) 23 – 15 = 8 – мындай чыгаруу синтезге негизделген;

б) x + 15 = 23 Þ x = 23 – 15 Þ x = 8 – чыгарылышы анализге негиздеген.

3.3.2. Анализ менен синтездин математиканы окутуудагы орду. Чындыгында анализ менен синтез математиканы окуп-үйрөнүүдө абдан пайдалуу методдордон болуп эсептелет. Булардын колдонулуштарына карата төмөнкү мисалдарды келтирели.

Мисал-1. Үч бурчтуктун ички бурчтарынын суммасы 2dга барабар экендигин далилдегиле.

1) аналитикалык жол менен далилдейли.

Ал үчүн 2d – жайылган бурчтун чоңдугу болгондуктан, каралуучу үч бурчтуктун ички үч бурчунун бирикмесин жайылган бурчка жайгаштыруу жетиштүү болот.

Мындайча киришели: а) C чекитине MK||AB ны жүргүзүп жайылган бурч түзөлү;

б) Ð2 – түзүлгөн жайылган бурчка камтылат;

в) Ð5 = Ð1, себеби MK||AB жана AС – кесүүчү;

г) Ð4 = Ð3, себеби MK||AB жана СB – кесүүчү;

д) анда Ð5 + Ð4 + Ð2 = 2d;

е) барабарларын алмаштырып Ð1 + Ð2 + Ð3 = 2d га ээ болобуз, т.к.д.

2) далилдөөнүн синтетикалык жолу.

а) MK||AB ны жүргүзөбүз;

б) Ð4 = Ð3, себеби MK||AB жана СB – кесүүчү;

в) Ð5 = Ð1, себеби MK||AB жана AС – кесүүчү;

г) Ð5 + Ð2 + Ð4 = 2d – жайылган бурч;

е) Ð1 + Ð2 + Ð3 = 2d (алдыдагы б), в) -нын негизинде), т.к.д.

Мисал-2. «Мергенчи айылдан 134,7км аралыктагы тоого барышы керек. Ал алгач ылдамдыгы 55км/саат болгон мотоцикл менен 2,4саат жол жүрүп, калган жолду орточо 4,5км/саат ылдамдыкта жөө басты. Ал канча убакыт жөө жүргөн?» – деген маселени чыгаралы.

Бул маселенин чыгарылыш этаптарын төмөнкү схемада көрөтөлү.

Анализ (билиш үчүн, … билүү жеткиликтүү).

Синтез (билип туруп, … билүүгө мүмкүн).

Бул көрсөтүлгөн анализ-синтездик схеманын жардамы менен текстүү маселелердин чыгарылыш алгоритмин чагылдыруу, традициялык жол менен ар бир жасалуучу амалга суроо коюп олтурганга караганда методикалык жактан алда канча баалуу.

Математикалык изилдөө процессинде жана математикага окутуу процес-синде анализ менен синтез көбүнчө биргеликте колдонулат. Ошондуктан окутуучу үчүн эң негизгиси, анализ – бул жаңыны ачуу жолу, ал эми синтез – негиздөө (тастыктоо) жолу экендигин эске алуу менен каралуучу жагдайда же анализ же синтез керектигин так айрымалай алышы болуп эсептелет.

3.4. Математиканы окутуудагы жалпылоо, абстракташтыруу жана конкрет-тештирүү.

3.4.1. Жалпылоо менен даректештирүүнүн (специализация) математиканы окутуудагы ролу. Жалпылоо – оюбузда кандайдыр бир объектилердин көптүгүндө алардын бардыгына тиешелүү болгон кайсы бир касиеттерди көрсөтүү болуп эсептелет.

Айталы арифметикалык прогрессиянын n-чи мүчөсүнүн формуласын табууну окуп-үйрөнүүдө, алгач берилген биринчи мүчөсү жана айырмасы боюнча арифметикалык прогрессиянын ар кандай мүчөсүн эсептеп табууга конкреттүү мисалдарды кароо менен башталат. Бул эсептөөлөрдү жүргүзүүдө окуучулар төмөнкү барабардыктарды пайдаланышат:

ж.у.с.

Албетте, бул барабардыктардын ар биринин алынышын формуласы менен жалпылоо аркылуу, арифметикалык прогрессиянын ар кандай мүчөсүн табуунун кыскача жолу бар экендиги келип чыгат.

Эгерде ар кандай арифметикалык прогрессияны натуралдык аргументтүү сызыктуу функция деп карай турган болсок, анда бул формула да жаңы жалпылоого ээ болот,б.а.

, .

Ошентип, жалпылоону берилген предметтердин көпүгүнөн, аны өз ичине камтыган бир кыйла көлөмдүү көптүктү кароого өтүү деп айтсак болот. Маселен натуралдык сандардын көптүгүн кароодон, бүтүн сандардын көптүгүнө өткөндөгү жалпылоону мисал катары келтирсек болот.

Жалпылоо процесси менен тыгыз байланышкан даректештирүү (специализация) процесси – оюбузда окуп-үйрөнүлүүчү объектинин касиеттеринен алардын айрым бир касиеттерин бөлүп көрсөтүү болуп эсептелет. Маселен ромбдордун көптүгүнөн, диагоналдары барабар ромбдорду бөлүп алуу менен квадрат түшүнүгүнө келебиз.

Мындан даректештирүү – берилген көптүктү кароодон, анда камтылган көптүктү кароого өтүү деп айтса болоору келип чыгат.

Мисалы, бүтүн сандардын көптүгүн кароодон натуралдык сандардын көптүгүн кароого өтсөк, анда даректештирген болобуз. Ошондой эле даректештирүүдө өзгөрүлмө чоңдукту турактуу чоңдук менен алмаштырууга (a санын ® 6 санына) же үйрөнүлүүчү объектиге чек коюга (үч бурчтуктан ® тең жактуу үч бурчтукка) алып келет.

3.4.2. Абстракташтыруунун жана конкреттештирүүнүн математиканы окутуудагы ролу. Абстракташтыруу – бул үйрөнүлүүчү объектинин өтө маанилүү эмес айрым касиеттерин эске албай эле анын изилденип үйрөнүлүүчү эң керектүү касиетин ойдон ажырата билүүнү түшүндүрөт.

Мугалим окутуунун эң алгачкы баскычтарында эле абстракциянын жаратылышына окуучулардын көңүлүн буруусуна аракет жасап жетишүүсү абдан маанилүү. Чынында буга кантип жетишүү керектиги анча деле кыйынчылык туудурбайт. Маселен, жөнөкөй эле 7×4=28 барабардыгы абстракциянын жаратылышын бир кыйла ачык көрсөтө алат. Айталы, мугалим “7×4=28 жазуусунун конкретүү мааниси тууралуу эмнени айтууга болот?” – деген суроого жооп табууну окуучулардан талап кылсын дейли. Окуучулар өздөрү эле 7×4=28 барабардыгы мүмкүн төрт карандаштын баасы, же атчан кишинин төрт саатта басып өткөн жолу, же тик бурчтук формасындагы талаанын аянты ж.у.с. деп жооп берүүсү өтө деле кыйынчылыкты туудурбайт.

Ошентип, абстракташтыруу математикалык таанып-билүүнүн эң негизги методу болушу менен бирге математикага окутуунун да методу болуп эсептелет. Окуучулардын математиканы окуп-үйрөнүүдө бул методду колдоно билишин тастыктоого дагы бир мисал келтирели. Мейли телонун кыймылынын ылдамдыгын теңдемеси, продукциянын өзүдүк наркын теңдемеси, металл таякчасынын ысытуудан өзгөргөн узундугун теңдемеси менен окуп үйрөнөлү дейли. Ылдамдык, өзүдүк нарк жана узундук түшүнүктөрүн абстракташтыруудан функциясын алабыз. Ал эми функциясын, анын касиеттерин жана графигин окуп-үйрөнүүдө , , катыштары менен байланышткан кубулуштардагы жалпылыкты көрсөтө алабыз. Демек, функциясын изилдөөнүн натыйжалары башка илимдердин тили катары практикада колдонулушу мүмкүн.

Абстракташтыруу конкреттештирүү процессине карама-каршы процесс болуп саналат. Конкреттештирүү деп үйрөнүлүүчү объектинин тигил же бул жагдайын, анын башка жагдайларына байланышсыз, бир тараптуу карай турган ой жүгүртүү ишмердигин айтабыз.

Конкреттештирүү кандайдыр бир абстрактуу абалдын көргөзмөлүү сүрөттөлүшү, же айкыналышы же кандайдыр бир касиеттин конкреттүү шарттагы колдонмосу катары кызмат кылат

Мисалы, рационалдык сандарды кошуу үчүн абстрактуу барабардыгы орун алат. Бул касиетти конкреттүү барабардыгы менен сүрөттөгө болот.

формуласын үйрөнүү менен, аны конкреттүү төмөнкүдөй эсептөөгө колдонсок болот:

Акырында жыйынтыктап айтканда, илимий изилдөө (ошондой эле окутуу) процессиндеги жалпылоо, адистештирүү (специализация), абстракташтыруу, конкреттештирүү, анализ, синтез, салыштыруу, байкоо жана тажырыйба ойлоо процессинде бири-бири менен өз ара аракет жасоо жана бири экинчисине камтылуу аркылуу бир тутумда каралат.

Даярдаган Б. Келдибаев