1. КӨПТҮКТӨР ЖӨНҮНДӨГҮ НЕГИЗГИ ТҮШҮНҮКТӨР

1.1. Көптүк жөнүндөгү алгачкы түшүнүктөр.

1.2. Камтылган көптүктөр.

1.3. Көптүктөрдүн биригүүсү, кесилиши жана толуктоочусу.

2. НАТУРАЛДЫК САНДАРДЫН КӨПТҮГҮ

2.1. Натуралдык сандар жана алардын касиеттери.

2.2. Кеңейтилген натуралдык сандардын көптүгү.

2.3. Бөлүнүүчүлүк белгилери.

2.4. Натуралдык сандарды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратуу.

2.5. Бир нече натуралдык сандардын эң чоң жалпы бөлүүчүсү жана эң кичине жалпы бөлүнүүчүсү.

2.6. Калдыктуу бөлүү.

3. БҮТҮН САНДАРДЫН КӨПТҮГҮ

4. РАЦИОНАЛДЫК САНДАРДЫН КӨПТҮГҮ

Бүтүн сандардын көптүгүндө бөлүү (калдыксыз) амалы ар дайым эле аткарылбагандыгын алды жакта карап өттүк. Мисалы Z көптүгүндө ни же 2ни 5ке бөлүү таптакыр мүмкүн эмес. Ошондуктан бөлүү (нөлдөн башкага) амалы ар дайым аткарылгандай Z көптүгүн дагы кеңейтүүгө туура келет. Ал үчүн бүтүн сандын бөлүгү (үлүшү) же бөлчөктөр деген жаңы түшүнүк киргизилет.

4.1. Жөнөкөй бөлчөктөр.

Бөлчөк же a жана b бүтүн сандарынын тийиндиси деп көрүнүшүндөгү санды айтабыз. Мында a бөлчөктүн алымы, b бөлчөктүн бөлүмү деп аталат.

Ар кандай бүтүн санды бөлүмү 1ге барабар болгон бөлчөк деп кароого болот. Мисалы

Же ал бүтүн сандарды башка бөлүм менен да жазса болот, б.а.

Мындайча айтканда бардык бөлчөктөрдүн көптүгү бардык бүтүн сандардын көптүгүн өзүнө камтыйт.

Эки бөлчөк жана барабар деп аталат, эгерде болсо. Мисалы менен барабар, анткени жана менен барабар, анткени .

Ошондой эле эгерде болсо болот, ал эми эгерде болсо, анда болот.

Эскертүү: мындан ары биз бөлүмү менен алымы натуралдык сандар болгон бөлчөктөрдү гана карайлы, анткени алымы жана бөлүмү (нөлдөн башка) бүтүн сан болгондо алар окшош эле аныкталаарын кийинчерээк көрөбүз.

Эгерде берилген бөлчөктүн алымын жана бөлүмүн бир эле бүтүн (нөлдөн башка) санга көбөйтсөк же бөлсөк, анда берилген бөлчөккө барабар бөлчөктү алабыз, б.а.

Бул касиет бөлчөктүн негизги касиети деп аталат жана көбүнчө бөлчөктөрдү кыскартууда колдонулат, б.а. берилген бөлчөктү алымы менен бөлүмү кичине сандар болгон бөлчөккө алмаштырууга болот.

Мисалы бөлчөгү берилсин. экендигин тапсак, анда

Эгерде бөлчөктүн алымы жана бөлүмү өз ара жөнөкөй сандар болбосо, анда аны ар дайым кыскартууга мүмкүн. Ал эми алымы менен бөлүмү өз ара жөнөкөй сандар болсо, анда мындай бөлчөктөрдү кыскарбас бөлчөктөр деп айтышат.

Бөлчөктүн негизги касиетин бөлчөктөрдү жалпы бөлүмгө келтирүүдө да колдонууга мүмкүн, б.а. эгерде эки бөлчөк берилсе аларды өздөрүнө барабар жана бөлүмдөрү бирдей болгон бөлчөктөр менен алмаштырууга болот.

Мисалы жана деген эки бөлчөк берилсин. Алардын бөлүмдөрү түрдүүчө: 5 жана 7. бөлчөгүнүн алымын жана бөлүмүн 7ге көбөйтсөк: болот. Ал эми бөлчөгүнүн алымын жана бөлүмүн 5ке көбөйтүп: алабыз. Демек жана бөлчөктөрү, бөлүмдөрү бирдей жана бөлчөктөргө келтирилди,

б.а. жалпы бөлүмгө келтирилди.

Берилген бөлчөктөрдү 5ке жана 7ге бир мезгилде бөлүнгөн ар түрдүү жалпы бөлүмгө келтирүүгө мүмкүн экендигин белгилей кетели. Атап айтканда, жалпы бөлүмүн 70ке келтирсек:

болот.

Дагы бир мисал б.а. жана бөлчөктөрүнүн жалпы бөлүмгө келтирели. Бул учурда бөлчөктөрдү, алардын бөлүмдөрүнүн көбөйтүндүсүнөн кичине болгон эле жалпы бөлүмгө келтирүүгө болот. Ал үчүн 18 жана 24 сандарынын эң кичине жалпы бөлүнүүчүсүн табабыз: . Анда болгондуктан бөлчөгүн 72 бөлүмү менен жазыш үчүн, ал бөлчөктүн алымын жана бөлүмүн 4кө көбөйтөбүз, бул сан кошумча көбөйтүүчү деп аталат. Мындан

Ошондой эле болгондуктан, экинчи бөлчөктүн алымын жана бөлүмүн кошумча көбөйтүүчү 3кө көбөйтүп төмөнкүнү алабыз:

Демек берилген бөлчөктөр жалпы бөлүмгө келтирилди.

Ошентип берилген бөлчөктөрдүн бөлүмдөрүнүн эң кичине жалпы бөлүнүүчүсү – ал бөлчөктөрдүн жалпы орток бөлүмү (же эң кичине жалпы бөлүмү) боло тургандыгы түшүнүктүү.

Жөнөкөй бөлчөктөрдү кошуу мындайча аныкталат:

Мисалы

Эгерде болсо, анда бөлүмдөрү бирдей бөлчөктөрдү кошууда алардын алымдарын кошуп алым кылып жазып, ал эми бөлүмүн өзгөртпөстөн эле бөлүм кылып жазуу жетиштүү, б.а.

Мисалы

Ал эми бөлүмдөрү түрдүүчө бөлчөктөрдү кошуу үчүн, алгач аларды жалпы орток бөлүмгө келтирип анан аларды алдыда каралгандай эле кошобуз. Мисалы

Жөнөкөй бөлчөктөрдү кемитүү маселеси алдыда каралганга окшош эле жүргүзүлөт.

Жөнөкөй бөлчөктөрдү көбөйтүү төмөнкүдөй аныкталат:

Мисалы: а) ; б) .

Жөнөкөй бөлчөктөрдү бөлүү мындайча аныкталат:

Мисалы: а) б)

в) г) .

4.2. Дурус жана буруш бөлчөктөр.

Жөнөкөй бөлчөктөр дурус жана буруш бөлчөктөр болуп экиге бөлүнөт.

Эгерде бөлчөгүнүн алымы бөлүмүнөн кичине болсо, анда ал дурус, ал эми алымы бөлүмүнөн чоң болсо буруш бөлчөк деп аталат (эгерде болсо, анда ; бул учурда бөлчөгү дурус бөлчөккө да жана буруш бөлчөккө да кирбейт).

Мисалы: а) – дурус бөлчөктөр,

б) – буруш бөлчөктөр.

буруш бөлчөгүн карайлы жана а саны га эселүү эмес деп эсептейли (эгерде а саны га эселүү болуп калса, анда – бөлчөгү натуралдык санга айланат). Мында болгондуктан биз жогоруда көрсөткөндөй (2.6.п.) боло турган q жана сандары жашайт. Анда бул жерде экендигине байланыштуу бөлчөгү – дурус бөлчөк болот. Демек буруш бөлчөгүн q натуралдык саны менен дурус бөлчөгүнүн суммасы түрүндө көрсөтүүгө мүмкүн. Бул аткарган ишибиз буруш бөлчөктүн бүтүн бөлүгүн бөлүп алуу деп аталат. Мисалы

Натуралдык сан менен дурус бөлчөктүн суммасын кошуу белгисин катыштырбай жазуу кабыл алынган, б.а. ордуна деп жазабыз. Мындай көрүнүштө жазылган сан аралаш сан деп аталат.

Ошентип биз ар кандай буруш бөлчөктү аралаш сан түрүндө жазууга болот деген жыйынтыкка келебиз жана тескерисинче да туура: ар кандай аралаш санды буруш бөлчөк түрүндө жазууга болот. Мисалы

Кыскача мындай жазса да болот: .

Мисалдар. 1. Амалдарды аткаргыла: а) б) .

Чыгаруу: а)

б) .

2. Амалдарды аткаргыла:

а) б) в) г) д) .

Чыгаруу:

а).

Кыскача .

б) Кээде аралаш сандарды кошууда жана кемитүүдө мурда аларды буруш бөлчөктөргө айландырып, анан ал буруш бөлчөктөр менен көрсөтүлгөн амалды аткарса да болот. Бул мисалды ошентип иштейли.

Эми алынган бөлчөктү аралаш санга айландырабыз (дайыма эле сөзсүз түрдө аралаш санга айландыруунун кажети жок):

. Ошентип .

Же кыскача мындай аткарсак да болот:

в) .

г) , же

кыскача: .

д) аралаш сандарды көбөйтүүдө жана бөлүүдө аларды ар дайым буруш бөлчөккө айландырып анан амалды аткарабыз:

4.3. Чектүү ондук бөлчөктөр.

Биз көрүнүшүндөгү бөлчөктөрдүн бөлүмү болгондорун карайлы. Мындай бөлчөктөрдүн ар бири

үчүн атайын жазылыш формасы кабыл алынган. Мисалы – жөнөкөй бөлчөктөрү

мындайча жазылышы мүмкүн: .

Бул көрүнүштө жазылган бөлчөктөр чектүү ондук бөлчөктөр деп аталат. Жалпысынан ар бир чектүү ондук бөлчөктү мындай белгилейбиз:

(13)

мында , ал эми дин ар бири – 0, 1, 2, …, 9 сандарынын бирөө. Көбүнчө чектүү ондук бөлчөктөрдү жөн гана ондук бөлчөктөр деп эле айтышат.

Ар кандай чектүү ондук бөлчөктү жөнөкөй бөлчөккө оңой эле айландырууга болот. Ал үчүн жөнөкөй бөлчөктүн алымына ондук бөлчөктүн үтүрүн эске албагандагы бүтүн санды жазабыз, ал эми бөлүмүнө көрсөткүчү ондук бөлчөктүн үтүрдөн кийинки цифраларынын санына барабар болгон 10дун даражасын жазабыз, андан кийин кыскарса кыскартып коёбуз. Мисалы

Тескерисинче мындай суроо туулат: ар кандай жөнөкөй бөлчөктү чектүү ондук бөлчөккө айландырууга мүмкүнбү? Жооп үчүн төмөндөгү теореманы келтиребиз.

10-теорема. Ар кандай бөлчөгү, эгерде натуралдык саны 2 жана 5тин гана терс эмес бүтүн көрсөткүчтүү даражаларынан турган жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыраса, анда ал чектүү ондук бөлчөккө айланат.

Далилдөө. бөлчөгү берилсин, мында . Бөлчөктүн негизги касиетин пайдаланып

бөлчөгүнүн алымын жана бөлүмүн санына көбөйтүп

алабыз.

Мындагы көбөйтүндүсү – натуралдык сан, аны t менен белгилесек, анда берилген бөлчөк көрүнүшүндө жазылат, мындан биз бөлчөгү чектүү ондук бөлчөккө айланганын көрөбүз. Мисалы

бөлчөгү чектүү ондук бөлчөккө айланат, анткени . Т.а.

Ал эми бөлчөгү чектүү ондук бөлчөккө айланбайт, себеби , б.а. берилген бөлчөктүн бөлүмүнө 5тен башка дагы 7 жөнөкөй көбөйтүүчүcү кирип калды.

Ошентип эгерде жөнөкөй бөлчөктүн бөлүмүнүн жөнөкөй көбөйтүүчүлөрү көрүнүшүндө гана болсо, анда аны чектүү ондук бөлчөккө айландырууга болот, ал эми бөлүмү 2 жана 5тен башка дагы жөнөкөй көбөйтүүчүлөрдөн туруп калса, анда аны чектүү ондук бөлчөккө айландырууга болбойт.

Дагы айта тургандар булар. Маселен ондук бөлчөгү берилсин, анда аны

деп жазууга болот. Мындан биз бөлчөгүндө 8 бирдик, 3 ондук үлүш, 4 жүздүк үлүш, 7 миңдик үлүш бар экендигин көрөбүз.

Жалпысынан ар кандай ондук бөлчөктө үтүрдөн кийин каалагандай разряддар: ондук, жүздүк, миңдик, он миңдик ж.б. бар десек болот. Башкача айтканда ушул эле бөлчөгүн дагы минтип жазсак болот:

Демек . Мына ошентип, эгерде кандайдыр бир ондук бөлчөктүн аягына бир канча нөлдөрдү улап жазсак, анда пайда болгон ондук бөлчөк мурункуга барабар болот же тескерисинче, эгерде ондук бөлчөк бир нече нөлдөр менен аяктаган болсо, анда ал нөлдөрдү алып таштасак мурдагыга эле барабар бөлчөктү алабыз.

Эми биз ондук бөлчөктөр менен болгон арифметикалык амалдарга токтололу. Ондук бөлчөктөр менен арифметикалык амалдарды жүргүз-гөндө, аларды жөнөкөй бөлчөктөргө айландырып же айландырбай эле аткарса болот.

Мейли жана бөлчөктөрүн кошуу керек дейли. Ал үчүн бир ондук бөлчөктүн астына экинчисин бирдей разряддары жана үтүрү туш келгендей кылып жазып алып, анан натуралдык сандарды кошкондой эле кошобуз:

Дагы бир мисал. 15,3 жана 6,872 бөлчөктөрүнүн суммасын табалы. Мында биринчи бөлчөктүн үтүрдөн кийин бир цифрасы, ал эми экинчисиники – үч цифрасы бар. Кошуу амалын аткаруу үчүн биринчи бөлчөктүн үтүрдөн кийинки цифраларынын санын үчкө толуктап алабыз: 15,3=15,300. Анда

Ондук бөлчөктөрдү кемитүү кошуу амалына окшош эле аткарылат. Мисалы төн ны кемители:

Эми эки ондук бөлчөктүн көбөйтүндүсүн табалы. Аның үчүн ал ондук бөлчөктөрдү үтүрлөрүнө көңүл бурбастан натуралдык сандардай эле көбөйтөбүз да, алынган натуралдык санга үтүрдү көбөйтүүчүлөрдөгү үтүрдөн кийин чогуу алганда канча цифра болсо, ошончо орунга оңдон солго карай эсептеп коөбуз. Мисалы

Биз эми ондук бөлчөктөрдү бөлүү амалына токтололу. Айталы 257,4 ондук бөлчөгүн 18 натуралдык санына бөлөлү. Ал үчүн бөлүүнү натуралдык сандарды бөлгөндөй эле жүргүзөбүз. Үтүрдү тийиндиге, качан гана бөлчөктүн бүтүн бөлүгү бөлүнүп бүткөн жерден коёбуз. Анда

Эгерде бөлүнүүчүнүн бүтүн бөлүгү бөлүүчүдөн кичине болсо, анда тийиндиде нөл бүтүн пайда болот. Мисалы

Эми 21,945 бөлчөгүн 2,31 бөлчөгүнө бөлөлү. Ал үчүн айрым өзгөртүүлөрдү жүргүзүп, б.а. бөлүүчүнү жана бөлүнүүчүнү 100гө көбөйтсөк тийинди өзгөрбөгөндүктөн, алдыда каралган мисалдардын чыгарылыш жолуна алып келебиз: . Анда

Ошентип .

Дагы бир мисал. ни кө бөлөлү:

Натыйжада чексиз ондук бөлчөк пайда болот. Мындай учурда бөлүүнү жөнөкөй бөлчөктөргө айландырып алып анан аткарган жакшы б.а.:

Ал эми ондук бөлчөктөрдү даражасына көбөйтүүдө (же бөлүүдө) үтүрүн эле оң жакты (же сол жакты) карай n орунга жылдырып коюу жетиштүү.

Мисалы: ;

;

Мына ошентип сандар менен амалдарды жүргүзгөндө алардын кээ бири жөнөкөй бөлчөк, экинчиси ондук бөлчөк, ал эми айрымдары аралаш сан болуп калышы ыктымал. Мындай учурда биз амалдарды аткаруу үчүн ар кандай жолдорду пайдаланышыбыз мүмкүн: 1) ондук бөлчөктөрдү жөнөкөй бөлчөктөргө айландырып, жөнөкөй бөлчөктөрдүн эрежелерин колдонобуз; 2) жөнөкөй бөлчөктөрдү жана аралаш сандарды (эгерде алар чектүү ондук бөлчөктөргө айланышса) айландырып, анан ондук бөлчөктөрдүн эрежелерин колдонобуз ж.б. Мисалы

туюнтмасынын маанисин табалы.

4.4. Чексиз мезгилдүү ондук бөлчөктөр.

Биз буга чейин көбүнчө үтүрдөн кийинки цифралардын саны чектүү болгон ондук бөлчөктөрдү карадык. Бирок чектүү ондук бөлчөктөрдөн башка дагы чексиз ондук бөлчөктөр да жашайт, мисалы .

Эгерде ондук бөлчөк үтүрдөн кийин чексиз көп цифралардан турса, болгондо да ал үтүрдөн кийин кандайдыр бир орундан баштап бир цифра же бир нече ирээттелген цифралардын бирикмеси улам кайталанса, анда ал чексиз мезгилдүү ондук бөлчөк деп аталат. Ал эми андагы үтүрдөн кийинки кайталануучу цифралардын бирикмеси ошол ондук бөлчөктүн мезгили деп аталат.

Мисалы: 14,333… – мезгили 3 болгон, ал эми 0,2151515… – мезгили 15 болгон чексиз мезгилдүү ондук бөлчөктөр болуп эсептелишет.

Мындай бөлчөктөрдү жазганда мезгилин бир нече жолу жазып, анан көп чекит коюп олтурбастан мезгилин бир эле жолу жазып, аны кашаага алып койсо да болот, б.а.:

;

Эгерде ондук бөлчөктө мезгил үтүрдөн эле кийин башталса, анда таза мезгилдүү; ал эми мезгил үтүрдөн кийин бир нече цифрадан кийин башталса, анда аралаш мезгилдүү ондук бөлчөк деп аталат. Мисалы,

– таза мезгилдүү ондук бөлчөктөр,

– аралаш мезгилдүү ондук бөлчөктөр.

Төмөнкү теореманы далилдөөсүз келтиребиз.

11-теорема. Ар кандай кыскарбас бөлчөгү нын ажыратылышында 2ден жана 5тен айырмалуу жок дегенде бир жөнөкөй көбөйтүүчүсү бар болсо, анда ал чексиз мезгилдүү ондук бөлчөк көрүнүшүндө бир гана түрдүү жазылат.

10-чу жана 11-теоремалардын негизинде ар кандай жөнөкөй бөлчөктү чексиз мезгилдүү ондук бөлчөк көрүнүшүндө жазса болот деп корутунду чыгарсак жаңылышпайбыз.

Бул корутундунун жалпылыгын ырастоо үчүн ар кандай чектүү ондук бөлчөктү чексиз мезгилдүү ондук бөлчөк көрүнүшүндө жазууга, болгондо да эки жол менен мүмкүн экендигин айтмакчыбыз. Мисалы

же ;

же .

Ал эми чексиз мезгилдүү ондук бөлчөктөрдү жөнөкөй бөлчөктөргө айландыруу эрежеси далилдөөсүз мындайча берилет.

Чексиз мезгилдүү ондук бөлчөктү жөнөкөй бөлчөккө айландыруу үчүн экинчи мезгилге чейинки сандан биринчи мезгилге чейинки санды кемитип, ал айырманы алымына жазып, ал эми бөлүмүнө мезгилде канча цифра болсо ошончо ду жана үтүр менен биринчи мезгилге чейин канча цифра болсо ошончо 0дү дан кийин улап жазышат. Мисалы

;

Каалаган чектүү ондук бөлчөктүн эки түрдүү көрүнүшүнүн бирин эле пайдалануу үчүн, мезгилге 9 санын катыштырбаганыбыз максатка ылайык-туу. Анда ар бир чектүү ондук бөлчөк мезгили 0 болгон чексиз мезгилдүү ондук бөлчөк көрүнүшүндө жазылат жана тескерисинче да туура болот.

Ошентип ар бир чексиз мезгилдүү ондук бөлчөк – бул кандайдыр бир толук аныкталган жөнөкөй бөлчөктүн жазылышынын башкача формасы деп айтсак болот.