3.4.1. Жалпылоо менен даректештирүүнүн (специализация) математиканы окутуудагы ролу.

4.  МАТЕМАТИКАЛЫК ТҮШҮНҮКТӨР ЖАНА АЛАРДЫ ОКУП-ҮЙРӨНҮҮ

4.1. Түшүнүк, анын мазмуну жана көлөмү.

Түшүнүк – бул үйрөнүлүүчү объектинин эң маанилүү касиеттерин (белгилерин) чагылдырган жана атайын терминдер менен бекемделген илимий таанып-билүүнүн формасы болуп саналат. Математикада түшүнүктөр көпчүлүк учурда терминдер (сөз же сөздөрдүн тобу) – аталыштар менен эле эмес, символдор – белгилер менен да баяндалат. Түшүнүк – бул объектинин ой-жүгүртүүбүздөн пайда болушу деп айтсак болот. Буга чейин бизге белгилүү болгон анализдин жардамы менен оюбузда объектинин маанилүү белгилери такталып даана бөлүнүп көрсөтүлөт, ал эми синтезде болсо объектинин маанилүү эмес белгилерине көңүл бурбай туруп эле, анын маанилүү белгилери бир бүтүнгө (түшүнүккө) бириктирилет.

Ар кандай түшүнүк мазмуну жана көлөмү боюнча бөлүнүп каралышы мүмкүн.

Түшүнүктүн мазмуну деп, анын бардык маанилүү белгилеринин көптүгүн айтышат. Ал эми түшүнүктүн көлөмү деп, ошол түшүнүккө камтыла турган объектилердин бардыгынын көптүгүн айтышат.

Мисалы, «параллелограмм» түшүнүгүнүн мазмуну болуп: а) карама-каршы жактары барабар; б) карама-каршы бурчтары барабар; в) диагоналдары бир чекитте кесилишет жана ал чекит аркылуу тең экиге бөлүнүшөт ж.б. белгилерин эсептесек болот. Ал эми анын көлөмү үчүн: а) параллелограммдардын өздөрүнүн; б) тик бурчтуктардын; в) ромбдордун; г) квадраттардын көптүктөрүнүн бирикмеси алынат.

Түшүнүктүн мазмуну анын көлөмүн так аныктайт жана тескерисинче түшүнүктүн көлөмү анын мазмунун толук аныктай алат. Мындай болгондуктан түшүнүктүн мазмунунун өзгөрүшүнөн анын көлөмү да өзгөрүшү жана тескерисинче болушу да келип чыгат. Ошондой эле түшүнүктүн мазмуну менен көлөмүнүн арасында тескери көз карандылык жашайт. Мисалы, ошол эле «параллелограмм» түшүнүгүнүн мазмунун (диагоналдары өз ара перпендикуляр деп) кеңейтсек, анда көлөмү (ромб, квадраттардан гана туруп) тарыйт (азаят). Эгерде түшүнүктүн мазмунун тарытсак (карама-каршы эки жагынын гана параллелдигин талап кылсак), анда түшүнүктүн көлөмү (аталган төрт бурчтуктарга трапеция дагы кошумчаланып) кеңейет.

 4.2. Түшүнүктөрдүн теги жана түрү боюнча байланыштары.

Түшүнүктөрдүн калптанышына салым кошкон жана бир түшүнүктөн башка түшүнүккө кыйшаюсуз ырааттуулук менен өтүүдө керектелүүчү түшүнүктөр арасындагы байланыштын өзгөчө формасы болуп алардын теги жана түрү боюнча баш ийишүүсү эсептелет. Мисалы, «кошуу», «кемитүү», «көбөйтүү», «бөлүү» түшүнүктөрүнүн бирикмеси «арифметикалык амал» түшүнүгүн билгизет. Мында «арифметикалык амал» түшүнүгү алдыдагы төрт түшүнүктү түр катары камтып, алар үчүн теги болуп кызмат кылат.

Түшүнүктүн тегин жана түрүн анын көлөмү менен байланыштырса да болот, б.а. эгерде бир түшүнүктүн көлөмү () башка бир түшүнүктүн () көлөмүнө камтылса (), анда экинчи түшүнүк () биринчинин теги, ал эми биринчи түшүнүк () экинчинин түрү деп эсептелет. Мисалы, ромб түшүнүгү – параллелограмм түшүнүгүнүн түрү, ал эми параллелограмм түшүнүгү ромб түшүнүгүнүн теги болот.

 4.3. Түшүнүктөргө аныктама берүү.

Түшүнүктүн аныктамасы деп, ал түшүнүктүн маанилүү жана айрымаланган белгилерин санап көрсөтүү менен кандайдыр бир байланыштуу сүйлөм (сөздүк же символ) аркылуу анын мазмунун ачып берүүнү айтабыз. Аныктама берүүдө түшүнүктүн негизги мазмуну ачлышы керек. Аныктамада ашыкча сөздүн болбогону жана керектүү сөздүн түшүп калбашы эң негизги талап болуп эсептелет. Мисалы, параллелограммдын так аныктамасы: «Параллелограмм – эки карама-каршы жактары өз ара барабар жана параллель болгон төрт бурчтук»; ал эми «квадрат» түшүнүгүнүн аныктамасына карата контрмисалдар: а) квадрат – бардык бурчтары тик болгон параллелограмм (жетишпейт);  б) квадрат – жактары барабар жана төрт бурчу тик болгон параллелограмм (ашыкча);  в) квадрат – бурчу тик болгон ромб (туура).

Кээ бир математикалык алгачкы түшүнүктөргө аныктама берилбейт. Мисалы: сан, чекит, түз сызык, тегиздик, көптүк түшүнүктөрү аныктама берилбей кабыл алынган (аныкталбаган) түшүнүктөр.

Кандайдыр бир түшүнүккө аныктама берүүнү бир түшүнүктөн башка түшүнүккө өтүү процесси деп карасак да болот. Бул процесстеги аракеттердин саны чектүү, себеби процесс уланып олтуруп, акыры биз алгачкы деп эсептеген түшүнүккө жетип токтолот.

Түшүнүккө аныктама берүүнүн мындай процессинин натыйжасында келип чыккан түшүнүктөрдүн удаалаштыгындагы ар бир түшүнүк (экинчисинен баштап) алдынкы түшүнүк үчүн тектик түшүнүк болуп кызмат кылат, б.а. бул түшүнүктөрдүн көлөмдөрү өз ара ирээтүү камтылуу катнашында болот:

Мисалы: квадрат өзгөчөлөнгөн ромб болуп эсептелет; ромб – өзгөчөлөнгөн параллелограмм; параллелограмм – өзгөчөлөнгөн төрт бурчтук; төрт бурчтук – өзгөчөлөнгөн көп бурчтук; көп бурчтук – өзгөчөлөнгөн геометриялык фигура; геометриялык фигура – чекиттердин көптүгү.

Ошентип, бул мисалдагы процесстин аягында алгачкы түшүнүктөр деп алынган чекит жана көптүккө келип такалабыз.

Эми биз түшүнүктөргө туура аныктама берүүнүн негизги жолдорунун төмөндөгү үчөөнө токтололу.

1. Жакыныраак теги жана түрдүк айрмачылыгы аркылуу түшүнүккө аныктама берүү. Адегенде аныкталуучу түшүнүктүн жакыныраак тегин табууга аракет жасалат, себеби бул учурда биз аныкталуучу түшүнүккө жана анын көлөмүнө дээрлик жакындаган болуп, берилүүчү аныктамадагы түр белгилеринин санын бир кыйла азайткан болобуз. Мисалы, «квадрат» түшүнүгүнө жакыныраак тектүү түшүнүктөр болуп «тик бурчтук» же «ромб» эсептелгендиктен, ага бул түшүнүктөр боюнча аныктама бергенде бир гана түр белгиси сакталат: «Квадрат деп бардык жактары барабар болгон тик бурчтукту айтабыз»; «Квадрат деп бардык бурчтары тик болгон ромбду айтабыз». Эгерде жакыныраак эмес тектеги параллелограмм түшүнүгү боюнча аныктама берсек, анда квадраттын аныктамасында белгилердин саны экөө болмок: «Квадрат деп бардык жактары барабар жана бардык бурчтары тик болгон параллелограммды айтабыз».

Түшүнүккө аталган жол менен аныктама берүүнүн көптүктөр теориясынын тилиндеги жана математикалык логикалык мазмуну мындайча түшүндүрүлөт.

Эгерде A көптүгүндө кандайдыр бир P(x) касиетине ээ болгон жана ал касиетке ээ болбогон x элементи бар болсо, анда P(x) касиети A көптүгүн төмөндөгүдөй эки камтылган көптүккө ажыратат:

 жана ,

болгондо да бул эки көптүк: , , ,  шартын канааттандырышы керек.

Бул жерде A – тектик түшүнүккө кирген объектилердин көптүгү, ал эми P касиети берилген түшүнүктүн түр белгиси (түрдүк айырмачылыгы) болуп эсептелет. Алдыда каралган «Квадрат деп бардык жактары барабар болгон тик бурчтукту айтабыз» – деген аныктамада A – бардык тик бурчтуктардын көптүгү, «бардык жактары барабар» – дегенибиз P (квадраттын түрдүк айырмачылыгы) касиети болуп эсептелет.

2. Түшүнүктүн генетикалык аныктамасы. Генетикалык аныктама – бул түшүнүктүн кайдан же кандайча келип чыккандыгын билдирет. «Конус деп, тик бурчтуу үч бурчтуктун каалаган бир катетинин айланышынан пайда болгон геометриялык телону айтабыз» – деген аныктаманы мисал катары келтирсек болот. Ошондой эле айланага, тегерекке, шарга, цилиндрге ж.у.с генетикалык аныктама берсе болот.

3. Түшүнүктүн индуктивдик аныктамасы. Мисал катары  рекуррентик барабардыгы аркылуу арифметикалык прогрессияга берилген аныктаманы айтсак болот.

Жыйнтыктап айтканда, түшүнүккө аныктама берүүнүн башка жолдору деле бар, бирок математиканы окуп-үйрөнүүдө жакыныраак теги жана түрдүк айырмачылыгы аркылуу берилген аныктамалар эң көп таралган ыкма болуп кала берет.

 4.4. Түшүнүктөрдү классификациялоо.

Түшүнүктү классификациялоо деп, төмөндөгү шарттарды канааттандырган ал түшүнүктүн көлөмүн (түшүнүктүн  теги болгон объектилердин көптүгүн) түрү боюнча ажыратууну (камтылган көптүктөргө бөлүштүрүүнү) айтабыз:

а) бөлүштүрүү (ажыратуу) процесстин аягына чейин өзгөрүүсүз калган маанилүү белгилси гана боюнча жүргүзүлөт;

б) бардык камтылган көптүктөр кесилишпейт, б.а. бөлүштүрүүдөн алынган түшүнүктөр бири-бирине көз каранды болбойт;

в) бардык камтылган көптүктөрдүн бирикмеси берилген көптүк, б.а. бөлүштүрүүдөн келип чыккан түшүнүктөрдүн көлөмдөрүнүн суммасы берилген түшүнүктүн көлөмүнө барабар;

г) камтылган көптүктөр (түрлөр) үчүн берилген көптүк жакыныраак тектеги түшүнүк, ал эми түрлөрү – баш ийгендер, б.а. бөлүштүрүүдө берилген тектик түшүнүккө жакыныраак түргө өтүү зарыл болуп эсептелет.

Мисал катары «алгебралык туюнтма» түшүнүгүн классификациялоо схемасын көрсөтөлү.

        Ошентип, классификациялоо – тектик түшүнүктүн көлөмүнө кирген объектилердин көптүгүн түрлөргө ажыратууну (бөлүштүрүүнү) билдирет деп айтса болот. Бул бөлүштүрүү маанилүү белгилери боюнча бирдей түрдөгү объектилердин окшоштугуна жана алардын башка түрдөгү объектилерден айырмачылыгына негизделген болуп эсептелет.

Кайсы илимде түшүнүктөрдү аныктоо жана классификациялоо процесси жүргүзүлсө, ошол илимдин түшүнүктөрүнүн системасы пайда болот. Биздин учурда математика илимин айтсак болот.

4.5. Математиканын мектеп курсуна түшүнүктөрдү киргизүү методдору.

Мектептин негизги жана жогорку класстарынын математикасынын системалык курстарында түшүнүктөрдү окуп-үйрөнүүдө аныктама берүү негизги метод болуп эсептелет. Аныктама берүүнүн негизги жолдорун алды жакта карап өттүк. Эми биз жаңы түшүнүктөрдү киргизүүнүн айрым методдоруна токтолуп кетели.

Мектептеги математика курсунда абстрактуу-дедуктивдик метод боюнча жаңы түшүнүк, качан гана мурунку (алдыңкы) түшүнүктү жана анын жакыныраак тегин окуп-үйрөнгөндөн кийин, ошондой эле окуучуларга жаңы түшүнүктүн түрдүк айырмачылыгы бир кыйла жөнөкөй жана түшүнүктүү болуп калганда киргизилет. Мисалы, ромб түшүнүгү, качан параллелограмм түшүнүгү окуп-үйронүлгөндөн гана кийин киргизилет.

Ал эми жаңы түшүнүктү конкреттүү-индуктивдүү метод боюнча киргизүү дегенибиз, башталышында конкреттүү мисалдарды кароо менен ой жүгүртүү операцияларынын (анализ, синтез, салыштыруу, абстракташтыруу ж.б.) жардамында окуучулардын өздөрү жаңы түшүнүктү аныкташына жетишүүнү билдирет. Эгерде бул процесс билгичтик менен ойлонулуп жүргүзүлсө, анда окуучулардын жаңы түшүнүктүн аныктамасын дээрлик так бере алышына шек жок. Бул учурда берилген аныктамадагы анча-мынча кемчилдиктерди мугалим өзү оңдоп, жаңы аныктаманы логикалык туура формасына жеткирет. Маселен, чоңдуктардын тескери пропорциялаш көз карандылыгы түшүнүгүн киргизүүдө, мисалы, берилген аралыкты басып өтүү үчүн зарыл болгон ылдамдык менен убакыттын тийиштүү маанилеринен турган түгөйлөрдүн таблицасын түзүүдөн баштаган максатка ылайыктуу болуп эсептелет. Анткени чоңдуктардын өзгөрүш көз карандылыгы жана бул өзгөрүүнүн мүнөзү таблицанын жардамы менен көргөзмөлүү оңой табылат. Андан ары окуучулар ушуга окшогон чоңдуктардын көз карандылыгына бир нече мисалдарды өздөрү издеп таап, акырында алардын аталышын берүү менен аныктамасынын айтылышын (формулировкасын) такташат.

Математиканын мектеп курсун окуп-үйрөнүүдө жаңы түшүнүктөрдү киргизүүнүн конкреттүү-индуктивдүү методу көбүнчө төмөнкү класстарда кеңири колдонулат, ал эми жогору класстарда абстрактуу-дедуктивдик метод көбүрөөк пайдаланылат.

4.6. Математикалык түшүнүктөрдү өздөштүрүү.

Окуучулардын кандайдыр бир математикалык түшүнүктү өздөштүрүүсү дегенде, биз алардын түшүнүктүн мазмунун жана көлөмүн так элестете алуусу менен бирдикте бул түшүнүктү өзүнүн математикалык ишмердигинде колдоно билүүсүн, ошондой эле ал түшүнүккө тиешелүү болгон негизги фактыларды актуалдаштыруу жөндөмдүүлүгүн түшүнөбүз.

Ар бир түшүнүк сабак өтүлүп жаткан учурда бардык окуучулар үчүн түшүнүктүү, айкын жана аң-сезимдүү өздөштүрүлүшү керек. Мындай максатка ал түшүнүктү киргизүү процессинде эле жетишүүгө аракет кылуу керек. Ошондой эле ал түшүнүк ошол сабакта бышыкталып, кийинки сабактарда окуучулардын түшүнүктүн аныктамасын айтып берүүсү (символдук жазуусу), ага конкреттүү көрсөтмөлүү мисалдар келтирүүсү жана аныктамага логикалык анализ жүргүзүү аркылуу кайталанат. Түшүнүктү өздөштүрүүнү көзөмөлдөө (контроль) негизинен окуучуларды суроо (опрос) түрүндө жүргүзүлөт. Бул учурда, эреже катары, аныктама берүүнү мисалдар, болгондо да окуу китебиндеги даяр мисалдар эмес, окуучулардын өздөру ойлоп тапкан мисалдар менен тастыктоону талап кылган жакшы. Бул талап математиканы окутуудагы негизги милдеттүү дидактикалык талап, методикалык эреже болуп калышы керек. Муну окуучунун билишинин себеби, ал үйдөн сабакка даярдануу мезгилинде жаңы киргизилген же кайталанылуучу математикалык түшүнүккө өзүнүн мисалдарын табууга милдеттендирет.

Окуучунун чыгармачыл мындай изденүүсү анын ойлоосун өстүрүү менен бирге эле анын аныктаманы жаттап албастан, формалдуу үйрөнбөстөн, түшүнүктүн мазмунун жана көлөмүн аң-сезимдүү, терең жана бекем өздөштүрүүсүнө өбөлгө түзөт.