1. Математиканы окутуунун методикасы предмети

1.1. Математиканын илим катары өнүгүшү жөнүндө.

1.2. Математиканын орто мектептин окуу предмети катары мүнөздөлүшү.

1.3. Математиканы окутуунун методуна мүнөздөмө.

2. Орто мектепте математиканы окутуунун максаты

2.1. Математиканы окутуунун жалпы билим берүүчүлүк максаты.

2.2. Математиканы окутуунун тарбиялык максаты.

2.3. Математиканы окутуунун практикалык максаты.

3. Математикадагы жана аны окутуудагы илимий методдор

3.1. Математиканы окутуудагы байкоо жана тажырыйба

3.1.1. Байкоо.

3.1.2. Тажырыйба (эксперимент).

3.2. Математиканы окутуудагы салыштыруу

3.2.1. Салыштырууга мүнөздөмө.

3.2.2. Салыштыруунун математиканы окутуудагы колдонулушу.

3.3. Математиканы окутуудагы анализ жана синтез

3.3.1. Анализ жана синтезге кыскача мүнөздөмө.

3.4. Математиканы окутуудагы жалпылоо, абстракташтыруу жана конкрет-тештирүү.

3.4.1. Жалпылоо менен даректештирүүнүн (специализация) математиканы окутуудагы ролу.

4. МАТЕМАТИКАЛЫК ТҮШҮНҮКТӨР ЖАНА АЛАРДЫ ОКУП-ҮЙРӨНҮҮ

4.1. Түшүнүк, анын мазмуну жана көлөмү.

4.2. Түшүнүктөрдүн теги жана түрү боюнча байланыштары.

4.3. Түшүнүктөргө аныктама берүү.

4.4. Түшүнүктөрдү классификациялоо.

4.5. Математиканын мектеп курсуна түшүнүктөрдү киргизүү методдору.

4.6. Математикалык түшүнүктөрдү өздөштүрүү.

5. МАТЕМАТИКАЛЫК СҮЙЛӨМДӨР ЖАНА АЛАРДЫ ОКУП-ҮЙРӨНҮҮ

5.1. Математикалык сүйлөмдөр.

Биз сүйлөмдү негизинен: грамматикалык; логикалык; математикалык маанисинде түшүнүп жүрөбүз.

Грамматикада сүйлөм деп, бүткөн ойду туюндурган сөз же сөздөрдүн айкалышын айтышат.

Логикалык сүйлөм (сүйлөмдүн логикалык мааниси) дегенде, биз кандайдыр бир белгилүү айтылышты (суждение) туюндурган грамматикалык сүйлөмдү түшүнөбүз. Грамматикалык сүйлөм менен логикалык сүйлөмдөрдүн арасындагы айырмачылык, ар түрдүү улуттагы элдердин сүйлөмдөрүнүн грамматикалык түзүлүшү ар башка, ал эми айтылыштын логикалык түзүлүшү бардык элдер үчүн бирдей экендиги менен түшүндүрүлөт.

Математикалык объектилер жөнүндөгү айтылышты туюндурган логикалык сүйлөмдү математикалык сүйлөм деп айтабыз.

Математикалык сүйлөмдөргө негизинен аксиомалар, постулаттар жана теоремалар кирет.

5.1.1. Аксиома. Чындык экендиги далилдөөсүз кабыл алынган математикалык сүйлөмдү аксиома деп айтышат.

«Аксиома» гректин axioma – «болгонундай кабыл алууга болот (то, что приемлемо)» – дегенди билдирет. Мисал катары «тегиздиктеги кандарйдыр бир түз сызыкка андан сыртта жаткан бир чекит аркылуу параллель кылып бир гана түз сызык жүргүзүүгө болот» – деген аксиоманы айтсак болот.

Аксиомалар жана алгачкы (аныктамасыз) түшүнүктөр математикалык теориянын негизги фундаментин түзүшөт. Кандайдыр бир илимий теорияны мүнөздөгөн аксиомалар системасына белгилүү болгон көз каранды эместик (системадагы бардык аксиомалар өз ара көз каранды болбошу керек, б.а. аларлын бирин да калган аксиомалардын негизинде далилдөөгө мүмкүн эмес), карама-каршы келбестик (системадагы аксиомалардын өздөрү гана эмес, ал аксиомалардан алынган бардык логикалык натыйжалар да өз ара карама-каршы болбошу керек) жана толуктук (аксиомалар системасынын ар кандай эки түрдүү интерпретациясы өз ара изоморфтуу болушу керек) талаптары коюлаары жаңылык эмес. Мисалы, Евклиддик, Гильберттик ж.б. аксиомалар системасын айтсак болот.

5.1.2. Постулат. Постулат – бул латындын «postulatum» сөзүнөн алынып «талап кылуу» же «талап» (требование) дегенди түшүндүрөт.

Постулат деп, кандайдыр бир түшүнүккө же түшүнүктөр арасындагы катышка коюлган талапты (шартты) туюндурган сүйлөмдү айтышат.

Мисалы, Евклиддин белгилүү 5-постулаты мындайча айтылат: «эки түз сызык, аларды үчүнчү бир түз сызык кесип өткөндө пайда болгон ички бир жактуу бурчтарынын суммасы 180°тан кичине болгон тараптан кесилишет».

Кээде постулат кандайдыр бир түшүнүктүн же түшүнүктөрдүн системасынын аныктамасынын бөлүгү болгон учурлар да кездешет. Мисалы, эквиваленттүүлүк катышы үч постулат менен аныкталат. Атап айтканда, A көптүгүндө берилген кандайдыр бир r катышы эквиваленттүүлүк катышы боло алат, эгерде төмөнкү касиеттер орун алса:

а) : , б.а. катыш рефлексивдүү болушу керек;

б) : , б.а. катыш симметриялуу болушу керек;

в) : , б.а. катыш транзитивдүү болушу керек.

Бул эквиваленттүүлүк катышына конкреттүү мисал болуп барабардык катышы эсептелери баарыбызга белгилүү.

5.1.3. Теорема. Теорема деп, чындык экендиги далилденүүчү математикалык сүйлөмдү айтабыз.

Теорема – бул гректин «theoreo» сөзүнөн алынып «карап жатам, ойлонуп атам (рассматриваю, обдумываю)» дегенди билдирет.

Ар кандай теорема шарты жана корутундусу болуп эки бөлүктөн турат. Мисалы «вертикалдык бурчтар барабар болушат» – деген теоремада вертикалдык бурчтар – шарты, ал эми барабар болушат – деген корутундусу болот.

Кээде теореманын шарты менен корутундусун оңой бөлүп көрсөтүү үчүн «эгерде … , анда … » логикалык байланышты пайдаланып формулировкалашат, мисалы, аталган теореманы «эгерде бурчтар вертикалуу болушса, анда алар барабар» – деп айтса да болот. Ошондой эле теореманын шартын – десек, ал эми корутундусун – десек, анда ал теореманы импликациялык байланышта символдук түрдө: – деп жазсак болот.

Ошентип, теореманы далилдөө дегенде, биз шартынын чындык экендигинин логикалык натыйжасы корутундусу болоорун көрсөтүүнү түшүнөбүз.

5.2. Теореманын түрлөрү жана алардын өз ара байланыштары.

Түрү боюнча теоремалар: түз, тескери, карама-каршы жана карама-каршыга тескери болуп төрткө бөлүнөт.

Кандайдыр бир теорема берилсе, аны түз теорема деп алып ага карата калган типтерин кантип аныктоого болоорун карап көрөлү. Айталы, түз теорема символдук көрүнүшүндө – болсун дейли, анда:

а) – тескери теорема;

б) – карама-каршы теорма;

в) – карама каршыга тескери теорема.

Мындай теоремалардын түрлөрүнө математикалык сүйлөмдөр менен мисал-дар келтирели:

1) Эгерде төрт бурчтук параллелограмм болсо, анда анын диагоналдары кесилишип кесилишкен чекитте тең экиге бөлүнүшөт ().

2) Эгерде төрт бурчтуктун диагоналдары кесилишсе жана кесилишүү чекитинде тең экиге бөлүнүшсө, анда ал төрт бурчтук – параллелограмм болот ().

3) Эгерде төрт бурчтук параллелограмм болбосо, анда анын диагоналдары кесилишкенде ал чекит аркылуу тең экиге бөлүнүшпөйт ().

4) Эгерде төрт бурчтуктун диагоналдары кесилишкенде тең экиге бөлүнүшпөсө, анда ал төрт бурчтук паралеллограмм боло албайт ().

Аталган төрт теорема тең – чындык, себеби аларды оңой эле далилдөө менен ишенүүгө болот.

Бирок, ар дайым эле мындай боло бербейт. Ага төмөнкүдөй теоремаларды мисалы катары келтирсек болот.

1) Эгерде бурчтар вертикалдуу болушса, анда алар барабар. Муну түз теорема десек, ал – чындык.

2) Эгерде бурчтар барабар болушса, анда алар вертикалдуу. Тескери теорема чындык эмес (мисалы тең капталдуу үч бурчтуктун негизиндеги эки бурчу барабар, бирок вертикалдуу эмес) – жалган.

3) Эгерде бурчтар вертикалдуу болбосо, анда алар барабар эмес. Карама-каршы теорема – жалган (мисалы параллель түз сызыктардагы пайда болгон ички кайчылаш бурчтар барабар, бирок алар вертикалдуу эмес).

4) Эгерде бурчтар барабар болушпаса, анда алар вертикалдуу эмес. Карама-каршысына тескери теорема – чындык.

Айтылгандардан биз кээде: түз теорема чындык болгону менен анын тескериси жалган; же түз теорема чын болсо,анда анын карама-каршысынын чын; же тескери теоремасы эле эмес карама-каршысы да жалган экендигин көрдүк.

Ошентип, аталган төрт теоремалардын арасындагы байланыштардын бар экендигин келип чыгат. Ал байланыштарды логикалык жактан мындайча жазса болот:

а) () жана () – бир учурда чын же жалган, б.а. ()();

б) () жана () –бир учурда чын же жалган, б.а. ()().

Бул эки алынган эквиваленттүүлүк туура экенигин далилеп көрсөтсө болот. Айталы, биринчи эквиваленттүүлүктү далилдейли. Далилдөөнү карама каршысынан жүргүзөлү. Мейли – чындык болсун дейли. Ал эми шарт боюнча . Натыйжа катышынын транзитивдүүлүгүнөн , б.а. чындык экендиги келип чыгат. Бирок, айтылышы жана анын тануусу айтылышы бир учурда чындык болушу мүмкүн эмес. Мындай каршы келүүчүлүк – чындык деген божомолубуздун жалган, ал эми чын экендигин далилдейт.

Ошентип, математикалык объектилердин теоремалар менен туюнтулган айрым касиеттерин караганда теореманын бүткүл төрт түрүн тең үйрөнүүнүн зарылчылдыгы деле жок, анткени кандайдыр бир логикалык тең күчтүү эмес эки түгөй теореманын (түз жана тескери же түз жана карама-каршы ж.у.с.) биринин эле чындык же жалган экендигин тактоо жеткиликтүү. Себеби мындай түгөйлөрдүн чын же жалган экендиги калган эки теореманын чын же жалган экендигине алып келет.

Ушул себептүү математиканын ар кандай курсунда негизинен түз жана тескери теоремалар менен кездешебиз, ал эми калган теоремалар азыраак жолугат.

5.3. Зарыл жана жеткиликтүү шарттар.

«Зарыл шарт» жана «жеткиликтүү шарт» түшүнүктөрү «теорема» түшүнүгү менен тыгыз байланышкан, ал эми «зарыл жана жеткиликтүү шарт» түшүнүгү түз жана тескери теоремалар менен байланышкан болуп эсептелет.

Кандайдыр бир айтылыштын зарыл шарты деп, ал шарт аткарылбаса айтылыш чындык болбой турган шартты айтабыз. Мисалы «сандын 6га бөлүнүшү» үчүн ал «сан жуп» болушу зарыл шарт, анткени «так сан 6га бөлүнөт» – деген айтылыш жалган. Ошондой эле «сандын 6га бөлүнүшү» үчүн ал «сандын 3кө эселүү» болушун да зарыл шарт деп айтсак болот.

Кандайдыр бир айтылыштын жеткиликтүү шарты деп, ал аткарылганда айтылыш сөзсүз чындык боло турган шартты айтабыз. Мисалы, «сан 9га эселүү» шарты «сан 3кө бөлүнөт» – деген айтылыш үчүн жеткиликтүү шарт болуп эсептелет (ар кандай 9га эселүү сан сөзсүз 3кө бөлүнөт), бирок бул шарт зарыл шарт боло албайт, себеби 3кө кээ бир 9га эселүү эмес сандар да бөлүнөт (12, 15, 21 ж.б.).

Алдыңкы мисалдагы «сандын 6га бөлүнүшү» үчүн ал «сан жуп» болушу зарыл шарт болгону менен жеткиликтүү шарт боло албайт, себеби ар кандай эле жуп сан 6га бөлүнө бербейт (8, 10, 14 ж.б.), б.а. «каалаган жуп сан 6га бөлүнөт» – деген айтылыш жалган. Эгерде «жуп сан (2ге эселүү)» жана «сан 3кө эселүү» зарыл шарттарын (бул шарттар аткарылбаса айтылыш чындык болбошу) чогуу карасак, анда ал жаңы шарт «сан 6га бөлүнөт» айтылышы үчүн эми жеткиликтүү шарт болуп калат. Мындан «сан 2ге жана 3кө эселүү» шарты «сан 6га бөлүнөт» айтылышы үчүн зарыл жана жеткиликтүү шарт болоору келип чыгат.

Кандайдыр бир айтылыштын зарыл жана жеткиликтүү шарты деп, аткарылбаганда айтылыштын чындык болбой, ал эми аткарылганда айтылыштын сөзсүз чындык боло турган шартты айтабыз.

Эми биз теореманы логикалык тилдеги көрүнүшүндө карайлы. Бул дегенибиз: «C үчүн B жеткиликтүү шарт» жана «B үчүн C зарыл шарт» – деген сүйлөмгө эквиваленттүү. Ар бир теорема чындык сүйлөм жана анын корутундусу шартынын логикалык натыйжасы болот, ошондуктан теореманын корутундусу, анын шарты үчүн ар дайым зарыл, ал эми шарты корутундусу үчүн жеткиликтүү болуп эсепптелет.

Эгерде тескери теоремасы туура болсо, анда B үчүн C жеткиликтүү, ал эми C үчүн B зарыл шарт болуп калат. Демек, эгерде түз жана тескери теорема туура болсо, анда анда C үчүн B зарыл жана жеткиликтүү, ал эми B үчүн C зарыл жана жеткиликтүү шарт катары алынат. Маселен, мейли B – «P чекити a бурчунун биссектрисасында жатат» айтылышы жана C – «P чекити a бурчунун жактарынан бирдей алыстыкта жатат» айтылышы болсун дейли. Бул учурда жана теоремалары чындык, анда B жана C айтылыштары эквивалентүү: BC болот. Ошентип: «чекиттин бурчтун жактарынан бирдей алыстыкта жайгашышы үчүн, анын берилген бурчтун биссектрисасында жатышы зарыл жана жеткиликтүү»; «чекит бурчтун биссектрисасында жатышы үчүн, анын берилген бурчтун жактарынан бирдей алыстыкта жайгашышы зарыл жана жеткиликтүү» сүйлөмдөрү чындык болот.

Кандайдыр бир айтылыштан келип чыккан ар бир натыйжа, ал айтылыш үчүн зарыл шарт болуп эсептелет. Мисалы «ABCD – параллелограмм» айтылышынан булар келип чыгат: 1) AB||CD; 2) BC||AD; 3) |AB|=|CD|; 4) |AD|=|BC|; 5) ÐA=ÐC; 6) ÐB=ÐD; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) |AO|=|OC|; 12) |BO|=|OD| (O=ACBD). Бул 12 натыйжанын ар бири берилген айтылыш үчүн зарыл гана шарт болуп эсептелет, б.а. эгерде булардын жок дегенде бири эле аткарылбаса, ABCD төрт бурчтугу параллелограмм боло албайт.

Даярдаган Б. Келдибаев